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1、 上海大学20132014学年秋季学期本科生课程自学报告课程名称： 概率论与随机过程 课程编号： 07275061 题目: 学生姓名: 王鹏 学 号: 12123398 评语:成 绩: 任课教师: 曾祥龙 评阅日期: 概率论与随机过程课程自学报告 2014年10月17日摘要： 在概率论和随机信号课程的学习中，我们在基础知识的学习上进行了自学总结及应用的拓展。本文介绍随机变量的特征函数、大数定理和中心极限定理、随机序列的统计特性，功率谱密度及其通过线性系统，并介绍大数定理和中心极限定理的应用，在保险行业中的应用。一、 自学小结1、随机变量的特征函数小结 设C（u）=为随机变量X的特征函数，其中f
2、(x)为随机变量X的概率密度函数。对于离散随机变量X，E总是存在的，对于离散随机变量X，特征函数为C（u）=E总是存在的，对于离散随机变量X，特征函数为C（u）=E=。PX=xi，随机变量的特征函数和其概率密度函数是一对傅里叶变换对的关系。 随机变量的特征函数具有很多性质，其中应用最为广泛的就是相互独立随机变量之和的特征函数等于各随机变量特征函数之积，即若Y=，式中Xn为N个两两互相独立的随机变量。则r（t）=。它能把寻求独立随机变量和的卷积运算转换成乘法运算。2、大数定律与中心极限定理大数定理：古典的大数定律表明事件发生的频率依概率1收敛于事件的概率，所以当试验次数很大时可以用事件的频率代替
3、概率。但古典大数定理用处有限，更多的时候我们要用强大数定理来代替。Xk是相互独立的且具有公共分布的随机变量序列，如果其期望u=E（Xk）存在，则对0,总有，说明平均数与期望之间的偏差小于任意给定的输的概率趋于1，即无限次试验的样本均值以概率1收敛于总体均值。 大数定理讨论了随机变量的样本均值的几乎处处收敛的依概率收敛，而中心极限定理研究当n较大时，随机变量的部分和Sn的概率分布问题，即随机变量的分布函数F（x）。 中心极限定理：设从均值为、方差为2;（有限）的任意一个总体中抽取样本量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为、方差为2/n 的正态分布。3、随机序列 将连续随机过
4、程Xt以ts为间隔进行等间隔抽样，即得到随机序列X（n）。一个N点的随机序列可以看成是一个N维的随机向量。随机序列的一维概率分布函数和一维概率密度函数只描述随机序列在某一时刻n的统计特称。常用如均值，方差，自相关函数等容易得到的数字特性描述随机序列。估值问题是从有限的样本出发找到总体的统计特性。经过抽样的量化得到代表原过程的随机序列，抽样时间足够小，损失的信息量可以忽略。 随机序列的功率谱密度可以定义为自相关函数的傅里叶变换。随机序列的离散自相关函数可表示为：两边取傅里叶变换：Gx（w）=易知上式为连续函数，若只考虑（-/Ts,/Ts）上的值，再令Ts=1可得：Rx（k）=1/2，Gx（w）=
5、，可以看出，随机序列的功率谱密度是一个非负的实偶函数。 随机序列在时间上离散取值，自相关函数也是在时间离散点上定义。随机序列通过一阶FIR滤波器，声音和噪声通过平均器处理，信号功率保持不变，噪声功率减少一半，信噪比增加了3dB。随机序列x（n）通过离散线性系统h（n）后得到y（n），则y（n）为：x（n）和H（n）的卷积；输入序列平稳，则输出序列也是平稳的，且与输入序列联合平稳；对于平稳随机过程来说，通过离散线性系统后，y（n）的数学期望=,功率谱密度。许多的随机序列可以看作典型的白噪声序列激励一个线性系统所产生的，而白噪声可以看作是一个平稳的随机序列。二、 应用范例大数定律与中心极限定理与保
6、险的关系 如果您随机地向上抛一枚硬币，很难判断这枚硬币落地后是正面朝上还是反面朝上。如果您抛了10次硬币，可能有五次正面朝上，也可能3次朝上，甚至有可能没有一次正面朝上。但是如果您不嫌累，一直不停地抛下去，抛了1000次、10000次、1000000次，您就会发现，硬币正面朝上和反面朝上的次数越来越近，近似等于总次数的一半；而且抛的次数越多，正面朝上的次数越稳定地接近于总次数的一半。这就是数学上所说的略带神秘色彩的“大数定律”。这个定律说的是随着随机试验次数的大量增加，某随机事件发生的频率具有稳定性，逐渐趋于某个常数。比如上面的抛硬币试验，随着试验次数的大量增加，硬币正面朝上的频率逐渐趋于二分
7、之一，也即抛一枚硬币落地后正面朝上的概率为二分之一。可以说，基于大数定律，我们对一些不确定性很强的个别事件，可以从总体上作出比较确定的预测。 大数定律对于保险经营来说至关重要。大数定律说明，当保险标的的数量足够大时，我们可以根据以往的统计数据计算出某种损失发生的估计概率，这个概率比较稳定，与这种损失未来实际发生的概率非常接近，我们就可以根据这个概率来计算可能发生的损失并确定要收取多少保费。比如，我们无法预测某栋房屋未来一年内发生火灾的概率，因为可能引发火灾的因素实在太多。如果保险公司只为一栋房屋提供保险，这无异于一场赌博。但是根据以往的统计数据，假如发现一年内10000栋房屋就有20栋房屋失火
8、，那么，基本可以有把握地说，每栋房屋失火的概率为0.2%，据此，我们可以计算每栋房屋未来一年可能发生的损失。如果有数量足够大的房屋投保火灾保险，我们还可以根据可能发生的损失厘定应收取的保费。房屋投保的数量越大，损失发生的概率越稳定，越与实际发生的情况接近，越便于保险公司厘定保费和管理风险。 我们常说保险就像蓄水池，每个人拿出一点保险，保险公司把这些资金集中起来可以弥补少数不幸者所遭受的损失。显然，如果参与这个蓄水池机制的人越多，蓄水池的作用发挥就会越稳定。 大数定律应用在保险学中，就是保险的赔偿遵从大数定律，即参加某项保险的投保户成千上万，虽然每一户情况各不相同，但对保险公司来说，平均每户的赔
9、偿率几乎恒等于一个常数。假如某保险公司有10000个同阶层的人参加人寿保险，每人每年付120元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡时，其家属可向保险公司领得10000元。试问：平均每户支付赔偿金59元至61元的概率是多少？保险公司亏本的概率有多大？保险公司每年在这项险种中利润大于40万元的概率是多少？设 Xi表示保险公司支付给第i户的赔偿金，则。E（Xi）=60，D（Xi）=59.64（i=1，2，10000）诸Xi相互独立。则表示保险公司平均对每户的赔偿金E（）=60，D（）=59.6410-4，由中心极限定理，N（60，0.07722），P59120=1-（7.77）0。这说明，保险公司亏本的概率几乎等于0。如果保险公司每年的利润大于40万元，即赔偿人数小于80人。则PY80=（2.59）=0.9952。可见，保险公司每年利润大于40万元的概率接近100%。在保险市场的竞争过程中，在保证相同收益的前提下有两个策略可以采用，一是降低保险费，另一个是提高赔偿金，而采用提高赔偿金比降低保险费更能吸引投保户。参考文献1王永德，王军编随机信号分析基础第三版.电子工业出版社
