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1、中考一轮复习之函数与一元二次方程知识考点：1、理解二次函数与一元二次方程之间的关系；2、会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与X轴的交点情况;3、会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。精典例题：【例1】已抛物线y =(m 1)x2十(m2)x 1 ( m为实数)。(1) m为何值时，抛物线与 x轴有两个交点？(2)如果抛物线与X轴相交于A、B两点，与y轴交于点C,且4ABC的面积为2,求该抛物线的解析式。分析：抛物线与x轴有两个交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程 有两个不相等的实数根 m应满足的条件。略解：(1)由已知有m #0且m#1
2、(2)由 x =0得 C (0, 1)AB1.SaBC =2 AB OC =2mm -11=24T4一 m =一或 m =- 351 2 21 2 6y=-x 一*一1或丫 = 一一* 一一x 3355【例2】已知抛物线y = x2 -(m2 +8)x+2(m2+6)。(1)求证：不论 m为任何实数，抛物线与 x轴有两个不同的交点，且这两个点都在x轴的正半轴上；(2)设抛物线与y轴交于点A,与x轴交于B、C两点，当 ABC的面积为48平方单位时，求 m的值。(3)在(2)的条件下，以 BC为直径作。M,问。M是否经过抛物线的顶点 P?解析：(1) =(m2 +4)2 0 ,由 x1 +x2 =
3、 m2 + 8 0 , x1x2 = 2(m2 + 6) 0 可得证。 BC =|x1 -x2| =4(x1 +x2)2 -4x1 x2 =(m2 +8)2 -8(m2 +6)=m2 4OA = 2(m2 6)又.: S.ABC =4812_2_(m 4) 2(m6)=4822.2解得m =2或m = -12 (舍去)m 二.2(3) y =x2 -10x+16,顶点(5, 9) , BC =6. -9 6O M不经过抛物线的顶点P。评注：二次函数与二次方程有着深刻的内在联系，因此，善于促成二次函数问题与二次方程问题的相互转化，是 解相关问题的常用技巧。探索与创新：【问题】如图，抛物线22,.
4、、 cy = x (a+b)x 十一,其中 a、b、4A、/ B、/ C的对边。(1)求证：该抛物线与X轴必有两个交点;(2)设有直线y = axbc与抛物线交于点 E、F,与y轴交点N,若抛物线的对称轴为 x = a , AMNE与/ MNF的面积之比 等边三角形；(2)当S魂BC =J3时，设抛物线与x轴交于点P、Q,问是轴相切的圆？若存在这样的圆，求出圆心的坐标；若不存在，请C分别是 ABC的/于点M ,抛物线与y轴交于为5 ： 1,求证： ABC是否存在过P、Q两点且与y说明理由。解析:(1) = (a b)2 -c2二(a b c)(a b - c)(2). a +b +c 0,.：
5、0由 a-b = a 得 a = b2a b -c 02c22由,y=x 一(a*b)x* 了得：x-3ax + 2+ac = 04j = ax - bc设 E ( x1，yj , F ( x2, y2),那么:Xix2 = 3a2ac由 S 加NE , S 小NF = 5 . 1 得：xi = 5 x2Xi = 5x2 或 Xi-5x2由x1 x2 a0知x1 = -5x2应舍去。xi +x =3aa12 解得x2=Wx1 = 5x22x1x25a2(3)S.Abc2-ac,即 5a2 - 4ac - c24a=c或5a+c = 0 (舍去) a =b =c.ABC是等边三角形。a = 2
6、或 a = 2 (舍去)a =b =c =2 ,此时抛物线y =x24x+1的对称轴是x = 2 ,与x轴的两交点坐标为 p(2J3,。)，设过P、Q两点的圆与y轴的切点坐标为(0, t),由切割线定理有：t2 =OP OQ.t = 1故所求圆的圆心坐标为(2, 1)或(2, 1)评注：本题(1) (2)问与函数图像无关，而第(3)问需要用前两问的结论，解题时千万要认真分析前因后果。同时，如果后一问的解答需要前一问的结论时，尽管前一问没有解答出来，倘能会用前一题的结论来解答后一问题，也是得分的一种策略。跟踪训练：一、选择题：2491、已知抛物线y =5x +(m-1)x + m与x轴两父点在y
7、轴同侧，匕们的距离的平方等于,则m的值为()25A、 2B、12C、24D、 2或 242、已知二次函数 y1 =ax2+bx+c (aw。)与一次函数 y2=kx+m (kw0)的图像交于点 A (2, 4) , B (8,2),如图所示，则能使y1 y2成立的x的取值范围是()x 8 C、 一2cx8D、x 2 或 x a 83、如图，抛物线y =ax2 , bx c与两坐标轴的交点分别是A、B、E,且ABE是等腰直角三角形， AE=BE,则下列关系：a+c=0;b=0;ac = 1;SBE =c2其中正确的有()A、4个B、3个C、2个D、1个24、设函数y = -x +2(m -1)x
8、 +m +1的图像如图所不，它与x轴交于A、B两点，线段OA与OB的比为1 ： 3,则m的值为()A、1或 2B、1C、1D、233二、填空题：1、已知抛物线 y =x2 (k -1)x -3k 2与 x轴交于两点 A ( , 0) , b( P , 0),且 2 + P 2 = 17 ,贝U k =。2、抛物线y =x2 (2m1)x2m与x轴的两交点坐标分别是 A (x1, 0) , B ( x2 , 0),且 上 =1,则m的值乂2为。1203、若抛物线 y = x +mx+m 1交x轴于A、B两点，交 y轴于点C,且/ acb =90 ,则m =。24、已知二次函数y =kx2+(2k
9、 1)x1与x轴交点的横坐标为 x1、x? (x X2时，y 0 ;万程kx +(2k 一1)x-1 = 0有两个不相等的实数根 x1、X2 ;x1 -1 ；.1 4k2x2 %,其中所有正确的结论是(只填写顺号)。k三、解答题：1、已知二次函数 y=ax2+bx+c (a。)的图像过点 E(2, 3),对称轴为 x = 1,它的图像与 x轴交于两点22A ( x1，0) , B ( x2 , 0),且 x1 x2 , x +x2 =10。(1)求这个二次函数的解析式；(2)在(1)中抛物线上是否存在点 P,使 POA的面积等于 EOB的面积？若存在，求出点 P的坐标；若不存 在，请说明理由。
10、22、已知抛物线 y=x +(m4)x+2m+4与x轴交于点A ( x1, 0) , B ( x2, 0)两点，与y轴交于点C,且x1 x2, x1 +2x2 =0,若点A关于y轴的对称点是点 D。(1)求过点C、B、D的抛物线解析式；(2)若P是(1)中所求抛物线的顶点，H是这条抛物线上异于点 C的另一点，且 HBD与4CBD的面积相等，求直线PH的解析式；一 123八、j 、 j八3、已知抛物线 y = x -mx -2m交x轴于点A ( x1, 0) , B ( x2, 0)两点，交y轴于点C,且x1 0 x2 ,222(AO+BO) =12CO+1。(1)求抛物线的解析式；(2)在x轴的下方是否存在着抛物线上的点，使/ APB为锐角、钝角，若存在，求出 P点的横坐标的范围；若不 存在，请说明理由。参考答案一、选择题：CDBD 二、填空题：1、2; 2、1； 3、3; 4、2三、解答题：1、 (1) y = x2+2x+3; (2)存在，P (1+、13 , 9)或(1 一13 , 9)22、 (1) y=x 6x+8； (2) y=3x1012 3ccc/c c3、 (1) y=x x2； (2)当 0xp 3 时 / APB 为锐角，当1 xp 0 或 3cxp 4 时 / APB 为钝22角。
