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1、福建师范大学21秋近世代数平时作业2-001答案参考1. 函数y=Ax2+B在区间(-，0)内单调增加，则A，B应满足( ) AA0，B任意 BA0，B0 CA0，B任意 DA0，B=0函数y=Ax2+B在区间(-，0)内单调增加，则A，B应满足()AA0，B任意BA0，B0CA0，B任意DA0，B=0C2. 设z=f(x，y)二次连续可微，且试证对任意的常数C，由方程f(x，y)=C决定的隐函数为一直线的充要条件是设z=f(x，y)二次连续可微，且试证对任意的常数C，由方程f(x，y)=C决定的隐函数为一直线的充要条件是由f(x，y)=C决定了隐函数y=y(x)，且 则 显然y=y(x)，即
2、f(x，y)=C为直线的充要条件是由我们刚才推导的式子可知等价于 3. (如图所示)设A，B，C是不共线的3点，它们决定一平面，则点P在上的充要条件是存在唯一的数组(，)，)使得(如图所示)设A，B，C是不共线的3点，它们决定一平面，则点P在上的充要条件是存在唯一的数组(，)，)使得其中O是任意的一点，P在ABC内的充要条件是*与0，0，0同时成立。 若点，则与，共面，或 取1-l-k=，=k，则 ，+=1 *部分证明：在ABC内成立，且 ，0l1，且0k+l1即0，r0，0，0，+r=1，且在ABC内 4. 向量组1=(1，0，2，3)，a2=(1，1，3，5)，a3=(1，一1，t+2，1
3、)，ad=(1，24，t+9)线性相关，则t=_向量组1=(1，0，2，3)，a2=(1，1，3，5)，a3=(1，一1，t+2，1)，ad=(1，24，t+9)线性相关，则t=_正确答案：一1或一2【解法一】(t+1)(t+2)，t=一l或t=一2时行列式为0【解法二】当t=一1或t=一2时，RB=34，即1，2，3，4线性相关5. 据推测认为，矮个子的人比高个子的人寿命要长一些下面将美国31个自然死亡的总体分为矮个子与高个子两类(以1据推测认为，矮个子的人比高个子的人寿命要长一些下面将美国31个自然死亡的总体分为矮个子与高个子两类(以172.72 em(5英尺8英寸)为界)其寿命如下：短个
4、子8579679080高个子6853637088746466606078716790737177725778675663648365设两个寿命总体服从正态分布，且方差相等，问：数据显示是否符合推测(=0.05)?这是，但2未知的双总体均值的单侧检验，=0.05 待检假设 H0：12，H1：12 由=80.2，=69.15，s1=8.585，s2=9.315，n1=5，n2=26，计算T检验统计量得 此处，=1-2 查表得t0.05(29)=1.6991，经比较知t=2.4564t0.05(29)=1.6991，故拒绝H0，认为推测正确，矮个子人的寿命高于高个子人的寿命 6. 设函数f(x)在(
5、-，+)内具有三阶导数，且满足条件：证明利用泰勒公式证设函数f(x)在(-，+)内具有三阶导数，且满足条件：证明利用泰勒公式证利用泰勒公式可得知 从而有 (*)由于，可知 由(*)可得 令j=1，即 相仿可得 不妨记为待定数值，可得含有(n-1)个未知量，(n-1)个方程构成的方程组 系数行列式D为 可知上述齐次线性方程组仅有零解，即 7. 试将下列微分方程组化为等价的微分方程，并求出方程的解：试将下列微分方程组化为等价的微分方程，并求出方程的解：由第2式得x=4y+y，再取导数有x=4y+y将得到的x，x代入第1式便得4y+y=3(4y+y)-10y，y+y-2y=0 再利用第2式及初值条件
6、知y(0)=8-4=4 最后得到等价的微分方程为 y+y-2y=0，y(0)=1，y(0)=4 上面二阶方程的特征方程为2+-2=(+2)(-1)=0，有根=-2，1 方程的通解为y=c1e-2t+c2et满足初值条件的解为y=-e-2t+2et及x=-2e-2t+10et$由第1式有，代入第2式得 -x+tx+t2x=-2x+x+txt2x=0 等价的微分方程为x=0 它有通解x=c1t+c2， 或由第2式有，代入第1式可得 ，t2(ty+2y)=0 等价的微分方程为ty+2y=0 令z=y，可化为tz+2z=0，有通解为进而 8. 列出多重集S=2a，1b，3c的所有3-组合和4-组合。列
7、出多重集S=2a，1b，3c的所有3-组合和4-组合。3-组合包括：2a，1b，2a，1c，1a，1b，1c，1a，2c，1b，2c，3c。 4-组合包括：2a，1b，1c，2a，2c，1b，3c，1a，1b，2c，1a，3c。 9. 与对合矩阵相似的矩阵仍是对合矩阵与对合矩阵相似的矩阵仍是对合矩阵正确答案：设A为对合矩阵即A2=IB与A相似则存在可逆矩阵P使得B=P-1AP由课本命题1可得B2=P-1A2P=P-1IP=I即B2=I故B仍然是对合矩阵设A为对合矩阵,即A2=I,B与A相似,则存在可逆矩阵P使得B=P-1AP由课本命题1可得B2=P-1A2P=P-1IP=I,即B2=I故B仍然
8、是对合矩阵10. 设函数w=f(z)在z1内解析，且是将z1共形映射成w1的分式线性变换试证 若w=f(z)是将z1若w=f(z)是将z1共形映射成w1的单叶解析函数，且 f(0)=0，arg f(0)=0 试证：这个变换只能是恒等变换，即f(z)z正确答案：由施瓦茨引理 f(z)z(z1) rn z=f-1(w)w(w1) rn 由、 f(z)zf(z)=eiaz rn 再由条件arg f(0)=0知=0即f(z)=z由施瓦茨引理f(z)z(z1),z=f-1(w)w(w1)由、f(z)z,f(z)=eiaz再由条件argf(0)=0,知=0,即f(z)=z11. 证明f-gf-g证明f-g
9、f-g证明 f=(f-g)+gf-g+g 所以f-gf-g 12. 某公司运输某种商品的固定成本为 2 万元，每多运输 1吨商品，运输总成本增加 1 万元，运输该商品某公司运输某种商品的固定成本为 2 万元，每多运输 1吨商品，运输总成本增加 1 万元，运输该商品 q 吨收取客户的收入(单位:万元)为 R(q)= 4q一 0.5q2。试求当运输量为多少时，利润最大?最大利润为多少?参考答案：运输 q 吨商品的成本函数为 C(q) =q十2利润函数为 L(q) =R(q)-C(q)=3q一 0.5q2_2令 ML(q)=3-q=0得惟一驻点 q=3 吨。故当运输量为 3 吨时，利润最大。最大利润
10、为 L(3)= 2.5 万元。13. 验证极限存在，但不能用洛必达法则求出验证极限存在，但不能用洛必达法则求出若用洛必达法则，则因 不存在故题设极限不能用洛必达法则求出 14. 一个mn的棋盘只有白色与黑色两种方格，其中m和n都是奇数。如果黑色方格比白色方格多一个方格，试证明：当棋盘一个mn的棋盘只有白色与黑色两种方格，其中m和n都是奇数。如果黑色方格比白色方格多一个方格，试证明：当棋盘上恰有一个黑方格禁止放子，那么该棋盘有一个用多米诺牌的完美覆盖。设禁止放子的黑方格位于第i行第j列上。下面分别就i与j的不同奇偶性情况进行讨论。 (1)i与j同为偶数或同为奇数。此时，将棋盘划分为如图7.14所
11、示的区域A1(为i(j-1)的区域)、区域A2(为(m-i)j的区域)、区域A3(为(i-1)(n-j+1)的区域)、区域A4(为(m-i+1)(n-j)的区域)以及禁止放子的黑方格(图中阴影部分)。由于A1，A2，A3与A4无论i与j同为偶数还是同为奇数，总有偶数边长，故可知，它们都有完美覆盖。 (2)i与j为一奇一偶。此时，如果不要求白格与黑格的位置，则不一定存在完美覆盖，如在图7.15中，第1行中第2格是禁止放子的黑格。如果要求棋盘行和列之间都是黑白格相间，则i与j的一奇一偶情况不会出现。事实上，不妨设i为奇，j为偶。由于黑格比白格多一个，故第1行上第1个格是黑格。则第i行第1个格是黑格
12、，从而第i行上只有偶数列上方格是白格。 15. 设A为三阶非零矩阵，r(AB)=1，则正确的是_ (A)t=2时，r(A)=1 (B)t=2时，r(A)=2 (C)f2时，r(A)=1 (D)设A为三阶非零矩阵，r(AB)=1，则正确的是_(A)t=2时，r(A)=1(B)t=2时，r(A)=2(C)f2时，r(A)=1(D)t2时，r(A)=2C当t=2时，有 ，|B|=0，B不可逆 当t2时，r(B)=3，从而B可逆，则r(AB)=r(A)=1 故应选(C). 16. 设随机变量X的概率密度为，求常数A，B应满足的条件设随机变量X的概率密度为，求常数A，B应满足的条件17. 求微分方程y&
13、39;&39;+y=2sin3x的通解。求微分方程y+y=2sin3x的通解。(1)先求对应齐次方程的通解。 由于对应齐次方程的特征方程r2+1=0的特征根为r1,2=i，则对应齐次方程y+y=0的通解为Y=C1cosx+C2sinx (2)再求该方程的一个特解。 因为自由项f(x)=2sin3x为Pm(x)exsinx型函数，为求该方程的一个特解，先求方程y+y=2e3ix的一个特解。 由于i=3i不是特征根。故其特解可设为y*=ae3ix。把它代入方程y+y=2e3ix并消去e3ix，得，即y+y=2e3ix的一个特解为 取其虚部就得到题设方程的一个特解为。因此题设方程的通解为 18. 某林场采
