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1、 . Wold分解定理：任何协方差平稳过程xt，都可以被表示为xt - m- dt= ut+ y1 ut-1+ y2 ut-2 + + = 其中m表示xt的期望。dt表示xt的线性确定性成分，如周期性成分、时间t的多项式和指数形式等，可以直接用xt的滞后值预测。y0= 1， 。ut为白噪声过程。ut表示用xt的滞后项预测xt时的误差。ut= xt - E(xt|xt-1,xt-2 , )称为xt的线性非确定性成分。当dt = 0时，称xt为纯线性非确定性过程。Wold分解定理由Wold在1938年提出。Wold分解定理只要求过程2阶平稳即可。从原理上讲，要得到过程的Wold分解，就必须知道无限
2、个yj参数，这对于一个有限样本来说是不可能的。实际中可以对yj做另一种假定，即可以把Y(L)看作是2个有限特征多项式的比，Y(L)= 注意，无论原序列中含有何种确定性成分，在前面介绍的模型种类中，还是后面介绍的自相关函数、偏自相关函数中都假设在原序列中已经剔除了所有确定性成分，是一个纯的随机过程（过程中不含有任何确定性成分）。如果一个序列如上式，xt =m+ dt+ ut+ y1 ut-1+ y2 ut-2 + +则所有研究都是在yt = xt - m- dt的基础上进行。例如前面给出的各类模型中都不含有均值项、时间趋势项就是这个道理。2.3 自相关函数以上介绍了随机过程的几种模型。实际中单凭
3、对时间序列的观察很难确定其属于哪一种模型，而自相关函数和偏自相关函数是分析随机过程和识别模型的有力工具。1. 自相关函数定义 在给出自相关函数定义之前先介绍自协方差函数概念。由第一节知随机过程xt中的每一个元素xt，t = 1, 2, 都是随机变量。对于平稳的随机过程，其期望为常数，用m表示，即 E(x t) = m, t = 1, 2, (2.25)随机过程的取值将以m为中心上下变动。平稳随机过程的方差也是一个常量 Var(x t) = E (xt- E(xt)2 = E (xt - m)2 = sx2 , t = 1, 2, (2.26)sx2用来度量随机过程取值对其均值m的离散程度。 相
4、隔k期的两个随机变量x t与xt - k的协方差即滞后k期的自协方差，定义为gk= Cov(xt, x t - k ) = E(xt - m)(xt-k - m) (2.27)自协方差序列gk,k = 0, 1, , K,称为随机过程 xt 的自协方差函数。当k = 0 时g0 = Var (xt) = sx2自相关系数定义rk= （2.28） 因为对于一个平稳过程有Var (xt) = Var (xt - k) = sx2 (2.29)所以（2.28）可以改写为rk= = （2.30）当 k = 0 时，有 r0 = 1。 以滞后期k为变量的自相关系数列rk,k = 0, 1, , K (2
5、.31)称为自相关函数。因为rk = r-k即Cov(xt - k, xt ) = Cov(xt, x t +k )，自相关函数是零对称的，所以实际研究中只给出自相关函数的正半部分即可。2.自回归过程的自相关函数 (1) 平稳AR(1)过程的自相关函数AR(1) 过程如下xt= f1xt-1 + ut , |f1| 1用xt- k同乘上式两侧xt xt- k= f1xt-1 xt- k + ut xt- k两侧同取期望，gk = f1 gk -1其中E(xt- k ut) = 0（ut与其t - k期与以前各项都不相关）。两侧同除g0 得, rk = f1 rk -1 = f1 f1 rk -
6、2 = = f1kr0因为 ro = 1。所以有rk = f1k, （k 0）对于平稳序列有 |f1|0 （经济问题中常见） f10)同乘平稳的 p阶自回归过程xt = f 1 xt-1 + f2 xt -2 +f p xt-p + ut (2.32)的两侧，得xt - k xt = f1xt - k xt-1 + f2xt - k xt -2 +fpxt - k xt-p+xt - k ut (2.33)对上式两侧分别求期望得gk = f1 gk-1+f2 gk-2+ +fpgk-p ， k 0 (2.34)上式中对于k 0，有E(xt - kut) = 0。因为当k 0时，xt - k 发
7、生在ut之前，所以xt - k 与ut不相关。用g0分别除（2.34）式的两侧得rk = f1rk-1+f2rk-2+ +fprk-p ， k 0 (2.35)令F(L) = (1 - f1 L - f2L2 - - fpLp）其中L为k的滞后算子，则上式可表达为F(L) rk= 0因 F(L) 可因式分解为，F(L) =,则（2.35）式的通解（证明见附录）是rk =A1G1k + A2G2k + + ApGpk. (2.36)其中Ai, i = 1, p 为待定常数。这里Gi-1, i = 1, 2, , p 是特征方程F(L)= (1 - f1 L - f2L2 - - fpLp ) =
8、 0的根。为保证随机过程的平稳性，要求 |Gi | 1, i = 1, 2, , p。这会遇到如下两种情形。当Gi为实数时，(2.36) 式中的Ai Gik将随着k的增加而几何衰减至零，称为指数衰减（过阻尼情形）。当Gi和Gj表示一对共轭复根时，设Gi =a + bi, Gj=a bi, = R，则Gi, Gj的极座标形式是Gi =R (Cosq + i Sinq)，Gj= R (Cosq - i Sinq)。若AR(p)过程平稳，则|Gi| 1，所以必有R 1 时，gk = E (ut+ q1 ut -1) (ut k+ q1 ut k -1) = 0综合以上三种情形，MA(1)过程自相关函
9、数为rk = = , k = 1 0 , k 1，见图2.7。q1 0 q1 1时，rk = 0。 (2) MA(q) 过程的自相关函数MA(q) 过程的自相关函数是rk =,k = 1, 2, , q ,0kq ,当kq时，rk = 0，说明rk , k = 0, 1, 具有截尾特征。（注意：模型移动平均项的符号以与这里 rk的符号正好与Box-Jenkins书中的符号相反，这样表示的好处是保持与计算机输出结果一致。） 4. ARMA(1, 1)过程的自相关函数ARMA(1, 1) 过程的自相关函数rk从 r1开始指数衰减。r1的大小取决于 f1和 q1, r1的符号取决于 (f1 - q1
10、)。若 f1 0，指数衰减是平滑的，或正或负。若 f1 0，相关函数为正负交替式指数衰减。对于ARMA(p, q) 过程，p, q2时，自相关函数是指数衰减或正弦衰减的。 5. 相关图（correlogram） 对于一个有限时间序列（x1, x2, , xT）用样本平均数= 估计总体均值m，用样本方差s2 = 估计总体方差sx2。当用样本矩估计随机过程的自相关函数，则称其为相关图或估计的自相关函数，记为rk = , k = 0,1 ,2, K, ( K T ) . (2.41)rk 是对rk的估计。其中Ck=k = 0,1,2, K , (2.42)是对gk 的估计C0= (2.43)是对g0的估计，T是时间序列数据的样本容量。实际中T不应太小，最好能大于60。注意：(2.42)式分母为T，不是T-k。Ck为有偏估计量。但在小样本条件下更有效。注：2个标准差 = 2 T-1/2 = 2（1/7）= 0.286。图中虚线表示到中心线2个标准差宽度。相关图是对自相关函数的估计。由于MA过程和ARMA过程中的MA分量的自相关函数具有截尾特性，所以通过相关图可以估计MA过程的阶数q。相关图是识别MA过程阶数和ARMA过程中MA分量阶数的一个重要方法。实
