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1、探究圆锥曲线中的存在性问题1 求曲线（或轨迹）的方程。对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系,以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力；与圆锥曲线有关的最值（或极值）和取值范围问题，圆锥曲线中的定值、定点问题，探究型的存在性问题。这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、平面向量、函数、不等式、三角函数知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。、是否存在这样的常数2例1.在平面直角坐标系xOy中，经过点（0,2）且斜率为k的直线I与椭圆-22y=1有两个不同的（I）求k的取值范围;（II）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点
2、分别为A，B，是否存在常数k，使得向量OPOQ与AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由.解：（I）由已知条件，直线I的方程为y二kx、一2，代入椭圆方程得jg、.2）-1.整理得2xOEz直线l与椭圆有两个不同的交点2I12P和Q等价于/=8k-4k122=4k-20，解得k或k丄.即k的取值范围为22，-匝IU迈,+J12丿2丿(n)设P(%,y),Q(x2,y2)，则OPOQ=(为X2，yiy?)，4VJk由方程，xX2k又Yiy2二k(X1x2)2、2.而a（72o）b（o，）,ab=（72，）.所以OPOQ与AB共线等价于x1x2(y-iy2),将代入上式，解得k=22由(
3、【)知k或k，故没有符合题意的常数k.2x练习1:(08陕西卷20).(本小题满分12分)的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.已知抛物线C:y=2x2，直线y=kx，2交C于A,B两点,(I)证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行;(n)是否存在实数k使naNb=0，若存在，求k的值；若不存在，说明理由.解法一：(I)如图，设A(x,Xi2),B(X2,2x22)，把y=kx-2代入y=2x2得2x2_kx_2=0,k由韦达定理得x!x2,X/2二-1,x1+x2xN-xMk,-N点的坐标为4k2设抛物线在点N处的切线1的方程为*飞2imkk2将心2代入上式得2x皿二一丁0,:直线l与抛物线C
4、相切,:二m28mkk2二m2-2mkk22=(m-k)=0,m=k.即I/AB.(n)假设存在实数k，使NAJN=0，则NA_NB，又；M是AB的中点,1|MNFjABI.11由(I)知yM匕y2)匕冋2kx22)匚也为X2)4k2：mn_x轴,k2|MN日yM一川盲222kk168_8又|AB=1k山为x21二1k.(x1x2)-4x1x=1k2k1681-：；k21L.k216，解得k=2.4即存在k二2，使naLnb解法二：（I）如图，设A（X1,2X!2）,B（X2,2x；），把y=kx2代入y=2x2得2x-kx-2二0由韦达定理得X2为K-2-X2+._治+X2xN=XM生,N点
5、的坐标为24fkk2)k抛物线在点N处的切线1的斜率为44=k，1/（n）假设存在实数k，使NAnb=0-k2k2Tk2k2X1,2x1,NB=X2,2X248)l48丿由（I）知NA二，则A2xfJ8.nA_nB二x1-kx2_k4.24+2x：Xikx242Jk八2、2kX1-X216丿16丿48(X1-4!X2卩+4(异+稣U4人2/4人4丿扣+X2)+器”1+4経+心+x2)+kk4216_|L14(-1)kk124Jk216A-33k24匚0,16-33k0，解得k.4即存在k=2,使NLnB=022练习2.直线ax-y=1与曲线x-2y=1相交于P、Q两点。当a为何值时，PQ=2J
6、1+a2；是否存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过原点0?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。解:联立方程我;=1得(1-2a2)x2+4ax-3=0,又知直线与曲线相交于P,Q两点，可得_?1-2a2?0，即a|02设P、Q两点的坐标为PX%),0区,丫2)则x1+X2=4a320门乂卷=R所以PQ=4(1+a2)(3-2a2)1(2a2-1)2=21+a2化简得(1-2a2)2-(1-2a2)-2=0,解得a=?1即为所求。假设存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过原点O,则kOP.kOQ二-1,也就是x1x2+y1y2=0,x-|X2+(ax-i-1)(ax2-1)=0,一222+1=
7、02a2整理得(1+a2)x1X2-a(x1+X2)+1二0,故有4+4a2a2-11-解得a2=-2,a纹，即不存在实数a.二、是否存在这样的点22xv例2已知椭圆C:飞2=1(ab0)的离心率为ab3,过右焦点3F的直线l与C相交于A、B两点,J2当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为2(I)求a,b的值;(II)C上是否存在点P,使得当I绕F转到某一位置时，有OP=OAOB成立？若存在，求出所有的P的坐标与I的方程；若不存在，说明理由。第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况解：(I)设Fc,0,当|的斜率为1时，其方程为x-y-c=0,0到|的距
8、离为00c.2，故才2c，解析：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力,有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想,的处理。，得a-.3,b=、a2-c2=一2(n)C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OP=OAOB成立。由(I)知椭圆C的方程为2x2+3y2=6.设A(x1,y1),B(x2,y2).(J当l不垂直x轴时，设l的方程为y二k(x-1)假设C上存在点P,且有OP=0A0B成立，则P点的坐标为(x!X2,yiy?),2222222(X1X2)3(y1y2)=6，整理得2为3y12x?3y?4X1X26丫1丫2=62222又A、B在C上，即2X13y1=6,2x
9、2=62x23%y23=0将y=k(x-1)代入2x23y2=6,并化简得2222(23k)x-6kx3k-6=06k23k-6是治+X2=2,X1X2=2+3k2-4k2y”2二k(X1-1)(X2-2)即P(-k)22代入解得，k2=2，此时xiX2k是y1y2=k(%X2-2)=-一2因此,当2时,P(f,l的方程为2xy-2=0；八2时，P(322l的方程为、2xy-2=0。=0A0B成立。当I垂直于x轴时，由0A*0B二(2,0)知，C上不存在点P使0P综上，C上存在点P(-,-)使OP=OAOB成立，此时I的方程为.2x_y一2=0.22例3.(2009福建卷)(本小题满分已知直线
10、x-2y2=0经过椭圆左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为14分)2xcrax轴上方的动点，直线AS,BS与直线I分别交于M,N两点。3(I)求椭圆C的方程;(n)求线段MN的长度的最小值;(川)当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T,使得TSB的面积为-?若存5在，确定点T的个数，若不存在，说明理由(I)由已知得，椭圆C的左顶点为A(-2,0),上顶点为D(0,1),a=2,b=12故椭圆C的方程为y2=14(n)直线as的斜率k显然存在，且k0,故可设直线AS的方程为y=k(x2)，从而M(10,16k)33y=k(x2)由x22得(14k2)x216k2x16k2-4=0x
11、4八116k242_8k2设S(x1，y1)，则(一2)，1_疋得，从而二2即S(能,為),又B(2,0)4k10x=31(x-2)1031N(10-L)故|MNF33k16k.133ky二一3k又k0,13k8316k|MN尸空-233k2 ，当且仅当警=，即k二1时等号成立3k4k=1时，线段MN的长度取最小值41（川）由（n）可知，当MN取最小值时，k=一4此时BS的方程为xy一2=0,s（6,）,.|BS|=42555要使椭圆C上存在点T,使得TSB的面积等于-，只须T到直线BS的距离等于上2，所以T54在平行于BS且与BS距离等于2的直线I上。4设直线I:x+y+t=0,则由练习：1
12、.已知双曲线x2-y2=2的左、右焦点分别为F-，F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A,B两点.（I）若动点M满足FM二F1AF1BFOC,使（其中0为坐标原点），求点M的轨迹方程;（II）在x轴上是否存在定点CACB为常数?若存在,求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.解：由条件知斤（-2,0）,F2（2,0），设A%yj,BEy）解法(I)设M(x,y)，则FM=(x2,y),F1B=(X22,y2),FO=(2,0)，由FM=F1AF1BFQ得x2=%x26,段x二x4,yy2y-yy一ix4y于是AB的中点坐标为y当ab不与x轴垂直时，一y22=，即yi-y2=y(x-X2)Xj_X
13、2x_4_2x_8x_822222又因为A,B两点在双曲线上，所以x-y-=2,X2-y2=2，两式相减得(x-X2)(x-X2)=(y-丫2)(力y2)，即(x-X2)(x-4)=(y-y2)y.将y-一y2=y(X-X2)代入上式，化简得(x-6)2-y2=4x8当AB与x轴垂直时，x1=X2=2，求得M(8,0)，也满足上述方程.22所以点M的轨迹方程是(x-6)-y=4.(II)假设在x轴上存在定点C(m,0)，使CACB为常数.当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y=k(x-2)(k二1).代入x2-y2=2有(1-k2)x24k2x-(4k22)=0.则Xi,X2是上述方程的两
14、个实根，所以224k24k2+2XiX22，X1X2k-1k-1于是224k(2km)k2-14k222(1-2m)k2k2-1m2=2(1_2m)4-4mk2-1m2因为是与k无关的常数，所以4-4m=0，即m=1，此时=_1.2=(X1-m)(X2-m)k(X1-2)(X2-2)2222=(k1)x2-(2km)(x1x2)4km22(k1)(4k2)k21当AB与x轴垂直时，点A,B的坐标可分别设为(2,2),(2,-、2),此时CAlCB=(,2)1,一一2)=-1(n)已知当M点的坐标为(2,-2p)时，AB=4丿10，求此时抛物线的方程;(川)是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线2x2py(p0)上，其中，点足OC=OAOB(0为坐标原点)若存在,求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由22(I)证明：由题意设A(X1,
