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1、第四版数值分析习题第一章 绪论1. 设x,的相对误差为，求的误差.2. 设x的相对误差为2,求的相对误差.3. 下列各数都是通过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字:4. 运用公式(3.3）求下列各近似值的误差限：其中均为第题所给的数5. 计算球体积要使相对误差限为1,问度量半径R时容许的相对误差限是多少?6. 设按递推公式( 1，,)计算到.若取2792(五位有效数字),试问计算将有多大误差?7. 求方程的两个根，使它至少具有四位有效数字(.982）.8. 当N充足大时,如何求?9. 正方形的边长大概为0,应如何测量才干使其面积误差不超过1?10.
2、 设假定g是精确的,而对t的测量有0.1秒的误差,证明当t增长时S的绝对误差增长,而相对误差却减小.11. 序列满足递推关系（n=1,，)，若(三位有效数字),计算届时误差有多大?这个计算过程稳定吗？12. 计算,取,运用下列等式计算,哪一种得到的成果最佳?13. ,求f(30)的值.若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问成果与否可靠?15. 已知三角形面积其中c为弧度,，且测量a , ,c的误差分别为证明面积的误差满足第二章 插值法1. 根据(2.）定义的范德蒙行列式,令 证明是n次多项式,它
3、的根是,且.2. 当x=,-1 , 时，f(）=0 ， -3 , 4 ,求f（x)的二次插值多项式.3. 给出f(x)=l x的数值表用线性插值及二次插值计算 .4 的近似值.x0.4.50.0.70.80.916910.6310.082035775.314. 给出os x,0x 9的函数表,步长h=1(1/),若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设,k=0,1,2,3,求.6. 设为互异节点(j=,，n）,求证:i)ii)7. 设且,求证8. 在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求的近似值，要使截断误差不超过,问使用函数表的步长应取多少？9. 若
4、,求及.10. 如果是次多项式,记,证明的阶差分是次多项式,并且为正整数).11. 证明.12. 证明13. 证明14. 若有个不同实根,证明15. 证明阶均差有下列性质:i) 若,则;ii) 若,则16. ,求及.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是 并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一种次数不高于4次的多项式，使它满足并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限19. 试求出一种最高次数不高于4次的函数多项式,以便使它可以满足如下边界条件,.20. 设,把分为等分,试构造一种台阶形的零次分段插值函数并证明当时,在上一致收敛到.21. 设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计
5、算各节点间中点处的与的值,并估计误差22. 求在上的分段线性插值函数,并估计误差23. 求在上的分段埃尔米特插值,并估计误差.24. 给定数据表如下:0.25.0390.40.53.00.5470.6250.6708028试求三次样条插值并满足条件i)ii)25. 若，是三次样条函数,证明i) ;ii) 若,式中为插值节点,且,则.26. 编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图(可用(.)式的体现式) 第三章 函数逼近与计算1. ()运用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式.（b)对在上求次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较.2. 求证:(a
6、)当时，. （b）当时，.3. 在次数不超过6的多项式中,求在的最佳一致逼近多项式.4. 假设在上持续,求的零次最佳一致逼近多项式.5. 选用常数,使达到极小,又问这个解与否唯一?6. 求在上的最佳一次逼近多项式，并估计误差.7. 求在上的最佳一次逼近多项式.8. 如何选用,使在上与零偏差最小？与否唯一?9. 设,在上求三次最佳逼近多项式.10. 令,求11. 试证是在上带权的正交多项式.12. 在上运用插值极小化求1的三次近似最佳逼近多项式.13. 设在上的插值极小化近似最佳逼近多项式为,若有界，证明对任何,存在常数、,使14. 设在上,试将减少到3次多项式并估计误差.15. 在上运用幂级数
7、项数求的3次逼近多项式,使误差不超过0.00.16. 是上的持续奇（偶)函数,证明不管是奇数或偶数,的最佳逼近多项式也是奇(偶)函数.17. 求、使为最小并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. 、，定义 问它们与否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其成果.20. 选择,使下列积分获得最小值:.21. 设空间,分别在、上求出一种元素,使得其为的最佳平方逼近,并比较其成果.22. 在上，求在上的最佳平方逼近.23. 是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系.24. 将在上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近
8、多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25. 把在上展成切比雪夫级数.26. 用最小二乘法求一种形如的经验公式，使它与下列数据拟合,并求均方误差9253139.02.49.73.397.27. 观测物体的直线运动，得出如下数据:时间(秒)00.1.3.0395.距离(米）0100508010求运动方程.28. 在某化学反映里,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下:时间051015225035404505浓度01.27.162.863.443.874.154.374.514.84244用最小二乘拟合求.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图30. 编出改善F算法的程序框图.31. 现
9、给出一张记录，试用改善FF算法求出序列的离散频谱第四章 数值积分与数值微分1. 拟定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:(1)；(2);(3);（4).2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:（1); （2);(3); (4).3. 直接验证柯特斯公式(.4）具有5次代数精度4. 用辛普森公式求积分并计算误差.5. 推导下列三种矩形求积公式:(1）;(2);(3）.6. 证明梯形公式(2.9）和辛普森公式（2.1)当时收敛到积分.7. 用复化梯形公式求积分，问要将积分区间提成多少等分,才干保证误差不超过(设不计舍入误差)？8. 用龙贝格
10、措施计算积分,规定误差不超过.9. 卫星轨道是一种椭圆，椭圆周长的计算公式是,这里是椭圆的半长轴,是地球中心与轨道中心(椭圆中心）的距离,记为近地点距离,为远地点距离,公里为地球半径,则.国内第一颗人造卫星近地点距离公里,远地点距离公里,试求卫星轨道的周长.10. 证明等式试根据的值,用外推算法求的近似值.11. 用下列措施计算积分并比较成果.(1) 龙贝格措施;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求在1.0,.1和1.2处的导数值,并估计误差.的值由下表给出:1.01.21.31.0.2500.2260.2060.18
11、90.176第五章 常微分方程数值解法1. 就初值问题分别导出尤拉措施和改善的尤拉措施的近似解的体现式，并与精确解相比较。. 用改善的尤拉措施解初值问题取步长h=0.1计算，并与精确解相比较。3 用改善的尤拉措施解取步长h0.计算,并与精确解相比较。4. 用梯形措施解初值问题证明其近似解为并证明当时，它原初值问题的精确解。. 运用尤拉措施计算积分在点的近似值。. 取h=0.，用四阶典型的龙格-库塔措施求解下列初值问题: ） 2)7. 证明对任意参数t,下列龙格库塔公式是二阶的:8. 证明下列两种龙格库塔措施是三阶的：1） 2） 9.分别用二阶显式亚当姆斯措施和二阶隐式亚当姆斯措施解下列初值问题
12、:取计算并与精确解相比较。0. 证明解的下列差分公式是二阶的，并求出截断误差的首项。1 导出具有下列形式的三阶措施：12. 将下列方程化为一阶方程组：1)2）3） 13.取=.5,用差分措施解边值问题4. 对方程可建立差分公式试用这一公式求解初值问题验证计算解恒等于精确解15. 取h=0用差分措施解边值问题第六章 方程求根1.用二分法求方程的正根，规定误差0.5。 用比例求根法求在区间，1内的一种根,直到近似根满足精度时终结计算。3.为求方程在附近的一种根,设将方程改写成下列等价形式,并建立相应的迭代公式。1），迭代公式;2),迭代公式;3）,迭代公式。试分析每种迭代公式的收敛性,并选用一种公
13、式求出具有四位有效数字的近似根。4. 比较求的根到三位小数所需的计算量；1)在区间0,内用二分法;2)用迭代法,取初值。5. 给定函数,设对一切存在且，证明对于范畴内的任意定数，迭代过程均收敛于的根。6 已知在区间,b内只有一根,而当axb时,试问如何将化为适于迭代的形式？将化为适于迭代的形式，并求=45（弧度)附近的根。7. 用下列措施求在附近的根。根的精确值1.879352，规定计算成果精确到四位有效数字。1) 用牛顿法；2）用弦截法,取;)用抛物线法,取。8.用二分法和牛顿法求的最小正根。9. 研究求的牛顿公式证明对一切且序列是递减的。10 对于的牛顿公式，证明收敛到，这里为的根。1. 试就下列函数讨论牛顿法的收敛性和收敛速度:1)12 应用牛顿法于方程，导出求立方根的迭代公式，并讨论其收敛性。. 应用牛顿法于方程,导出求的迭代公式,并用此公式求的值。14 应用牛顿法于方程和，分别导出求的迭代公式,并求15证明迭代公式是计算的三
