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1、类型一：锐角三角函数本专题主要包括锐角三角函数的意义、锐角三角函数关系及锐角三角函数的增减性和特殊角三角函数值，都是中 考中的热点.明确直角三角形中正弦、余弦、正切的意义，熟记30、45 、60角的三角函数值是基础，通过计算器计算知道正弦、正切随角度增大而增大，余弦随角度增大而减小.1 在Rt ABC中，/ ACB=90 , CD丄AB于点D，已知亠丄- , BC=2，那么.；1.一匸匚-()鑑A .匚2卅击B.二C.】D.1思路点拨：由于/ ABC在Rt ABC和Rt BCD中，又已知 AC和BC,故只要求出 AB或CD即可.解析:解法1 ：利用三角形面积公式-，先用勾股定理求出 2 祚 屈
2、二聽二/0)则厂厂 -,得4Of = J1-飢巴立民-# -3sin(253tan a = -y =-cos a245总结升华：知道一锐角三角函数值，构造满足条件的直角三角形,根据比的性质用一不为0的数表示其两边，再根据勾股定理求出第三边，然后用定义求出要求的三角函数值或利用sina =1stnoitan 氐二-J丄来求.(1)DC 的长；(2)sinB 的值.类型二：解直角三角形解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形的边角关系的知识是解直角三角形的基础.解直角三角形时, 注意三角函数的选择使用，避免计算麻烦，化非直角三角形为直角三角形问题是中考的热点.cos DC =-如图所示，在 A
3、BC 中，/ C=90，点 D 在 BC 上，BD=4 , AD=BC ,:思路点拨：题中给出了两个直角三角形,CD=BC-BD，因此可列方程求出 CD.DC和sin B可分别在 Rt ACD和Rt ABC中求得，由 AD=BC，图中Rt ACD 中,BC = -x/ AD=BC , /又二匚匸匚，4，解得人-(2)BC=BD+CD=4+6=10=AD.在 Rt ACD 中,AC 二 S 二 J1F-0 = 3在 Rt ABC 中,AB =丿的+加=翻+100 = q列sin lAB 2Q 41总结升华：借助三角函数值，设出其中两边，根据已知条件，列出方程，求出解，再求出其要求的问题.举一反三
4、【变式1】如图所示，在梯形ABCD中，AD / BC, CA平分/ BCD , DE / AC ,交BC的延长线于点 E，二二二匚二二.(1) 求证：AB=DC ;若匸江-工；,，求边BC的长.思路点拨： 要证AB=DC，只需证明ABC=二BCD .由AC / DE , AD / BC,可得四边形 ADEC为平行四边形,所以/ E= / DAC .由CA平分/ BCD，可得/ BCD=2 / BCA=2 / E,所以/ B= / BCD，问题得证，由可知AD=CD= 过点A作AF丄BC,在Rt ABF，可求得 BF=1 ,所以，： 1.解析：(1)证明：T DE / AC,./ BCA= /
5、E.F G C/ CA 平分/ BCD , / BCD=2 / BCA ,二 / BCD=2 / E.又 / B=2 / E,./ B= / BCD .梯形ABCD是等腰梯形，即 AB=DC .(2) 解：如图所示，作 AF丄BC, DG丄BC,垂足分别为 F、G,则AF / DG .在 RtAAFB 中，T tan B=2, AF=2BF .又 一；亠，且 一一一 丨 _， -：-，得 BF=1 .同理可知，在 Rt DGC中，CG=1./ AD / BC ,/ DAC= / ACB .又 / ACB= / ACD , / DAC= / ACD . AD=DC . =* ? AD / BC,
6、 AF / DG , 四边形AFGD是平行四边形.广， BC=BF+FG+GC= _ 一【变式2】已知：如图所示,P是正方形 ABCD内一点，在正方形 ABCD外有一点 E,满足/ ABE= / CBP, BE=BP .(1)求证： CPBAEB ;求证：PB丄BE ;(3)PA : PB=1 : 2，/ APB=135。，求 cos/ PAE 的值.PE,借助（1）（2），求出/ PBE=：，而/ APB=135 ，因此思路点拨：（1）在厶CPB和厶AEB中，/ PBC= / ABE , BP=BE，要证 CPBCAEB，只要BC=AB即可，而四边形ABCD恰好是正方形，所以得证.（2）只要
7、证/ PBE=90 ，而/ ABC=90。，即证出.（3）要求cos/ PAE的值，需判断/ PAE所在的三角形是否是直角三角形，因此需连结/ APE=90 .解析：(1)证明：T 四边形ABCD是正方形，BC=AB ./ / CBP= / ABE , BP=BE , CPB AEB .(2)证明：T / CBP= / ABE , / PBE= / ABE+ / ABP= / CBP+ / ABP=90 , BP丄BE.(3) 解：连结 PE,t BE=BP，/ PBE=90 , / BPE=45 . 设 AP=k，贝U BP=BE=2k,C J:工，/ / BPA=135，/ BPE=45
8、, / APE=90 ae = Jap2+pe2 = 3k在 Rt APE 中,类型三：利用三角函数解决实际问题直角三角形应用非常广泛，是中考的重要内容之一近年来，各地中考试题为体现新课标理念，设计了许多面目 新颖、创意丰富的新型考题运用解直角三角形的知识解决与生活、生产相关的应用题是近几年中考的热点虽然解 直角三角的应用题题型千变万化，但设法寻找或构造出可解的直角三角形是解题的关键.仇如图所示，在一个坡角为15的斜坡上有一棵树，高为AB,当太阳光与水平线成50角时测得该树在斜坡的树影BC的长为7 m，求树高.（精确到0.1m）思路点拨：树所在直线垂直于地面，因此需延长AB交水平线于一点 D，
9、则AD丄CD，在Rt BCD中，BC=7m ,/BCD=15tan=,所以求出 CD、BD .而在Rt ACD中，/ ACD=50 ,利用AD-求出 AD ,所以 AB=AD-BD即可求出.解析:如图，过点C作水平线与 AB延长线交于点 D，则AD丄CD ./ / BCD=15 ，/ ACD=50 ,在 Rt CDB 中，CD=7cos15 , BD=7sin15在 Rt CDA 中，AD=CDti 50 =7 cos 15- t：an5 0nAB = AD-BD = 7c5a tar5Cr -7sin 157(cos 15 tan 50-sin 15) w 6 2(m)答：树咼约为6.2m
10、.总结升华：解这类问题一般构造直角三角形，借助角与边的关系，求得未知边，再解另一个直角三角形得到问题答案.举一反三【变式1】高为12.6米的教学楼ED前有一棵大树 AB（如图所示）.（1）某一时刻测得大树 AB、教学楼ED在阳光下的投影长分别是 BC=2.4米，DF=7.2米，求大树 AB的高度.（2）用皮尺、高为h米的测角仪，请你设计另一种测量大树AB高度的方案，要求：在下图中，画出你设计的测量方案示意图，并将应测数据标在图上（长度用字母m、n表示，角度用希腊字母二-表示）；根据你所画的示意图和标注的数据，计算大树AB的高度（用字母表示）.思路点拨：本题主要考查解直角三角形的有关知识，并且让
11、学生根据所提供的信息设计测量方案. 解析：连结AC、EF（图略）.（1） /太阳光线是平行线， AC / EF , / ACB= / EFD ./ / ABC= / EDF=90 , ABC EDF .A8 _ SC.匚匚 二匚.AB _ 2A二 1.I AB=4.2 .答：大树AB的高是4.2 米.总结升华：本题将解直角三角形的相关知识与测量方案设计结合在一起，联系生活实际，让学生自己设计测量方 案，得出结果，培养动手实践操作能力同时，引导学生结合生活实际建立数学模型，促使大家进一步认识数学就在 身边，会用数学知识解决现实生活中的问题.【变式2】2008年6月以来某省普降大雨，时有山体滑坡灾
12、害发生.北峰小学教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上 面是一块平地，如图所示，AF / BC,斜坡AB长30米，坡角/ ABC=65。.为了防止滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经过地质人员勘测，（1）求坡顶与地面的距离AD等于多少米？（精确到0.1米）（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚B不动，坡顶A沿AF削进到E点处，求AE至少是多少米？（精确到0.1米）解析：在 Rt ADB 中,AB=30m，/ABD=65 ,所以 AD=AB sin / ABD=30 X sin65 27.2（米）. 答：AD等于27.2米.riDcosZABD = （2）在 Rt ADB 中，-二，所以 DB=AB cos/ ABD=30 X cos65 12.7（米）. 连结BE，过E作EN丄BC于N,因为AE / BC,所以四边形 AEND为矩形, 贝U NE=AD 沁 27.2 .在
