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1、苏教版数学精品资料学业分层测评(十一)抛物线的几何性质(建议用时:45分钟)学业达标一、填空题1.若抛物线y2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为 _.【解析】由定义知POPF,所以xP,yP.【答案】2.抛物线yax21与直线yx相切,则a等于_.【解析】由消y得ax2x10.直线yx与抛物线yax21相切,方程ax2x10有两相等实根.判别式(1)24a0,a.【答案】3.(2016济南高二检测)已知过抛物线y24x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点,AF2,则BF_.【解析】y24x,p2,F(1,0),又AF2,xA2,xA12,xA1.即ABx轴,F为AB的中点,
2、BFAF2.【答案】24.边长为1的等边三角形OAB,O为原点,ABx轴,以O为顶点且过A、B的抛物线方程为 _.【解析】由题意可知,抛物线的对称轴为x轴,当抛物线开口向右时,设抛物线方程为y22px(p0),且A为x轴上方的点,则易求A,所以p,所以p,所以抛物线方程为y2x.同理,当抛物线开口向左时,抛物线方程为y2x.【答案】y2x5.设抛物线y22x与过焦点的直线交于A,B两点,则的值是_. 【导学号:24830051】【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),可知p1,则(x1,y1)(x2,y2)x1x2y1y2p2.【答案】6.设已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0
3、).直线l与抛物线C相交于A、B两点,若AB的中点为(2,2),则直线l的方程为_.【解析】抛物线的方程为y24x,设直线l与抛物线C的交点A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1x2,两式相减得,yy4(x1x2),1,直线l的方程为y2x2,即yx.【答案】yx7.探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处.已知灯口直径是60 cm,灯深40 cm,则光源到反光镜顶点的距离是_.【解析】建立直角坐标系(图略),设抛物线方程是y22px(p0).A(40,30)在抛物线上,3022p40,p,光源到反光镜顶点的距离为5.625 (cm).【答案】5.625 cm 8.设M
4、(x0,y0)为抛物线C:x28y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、FM为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是_.【解析】圆心到抛物线准线的距离为p4,根据已知只要FM4即可.根据抛物线定义,FMy02.由y024,解得y02,故y0的取值范围是(2,).【答案】(2,)二、解答题9.直角三角形的直角顶点在坐标原点,另外两个顶点在抛物线y22px(p0)上,且一直角边的方程是y2x,斜边长是5,求此抛物线的方程.【导学号:24830052】【解】如图,设直角三角形为AOB,直角顶点为O,AO边的方程为y2x,则OB边的方程为yx.由得A点坐标为.由得B点坐标为(8p,4p).
5、AB5,5. p0,解得p,所求抛物线方程为y2x.10.一辆卡车高3 m,宽1.6 m,欲通过断面为抛物线形的隧道,已知拱口宽恰好是拱高的4倍,若拱口宽为a m,求使卡车通过的a的最小整数值.【解】以隧道顶点为原点,拱高所在直线为y轴建立直角坐标系,如图所示.则点B的坐标为,设隧道所在抛物线方程为x2my(m0), 则2m,ma,即抛物线方程为x2ay.将(0.8,y)代入抛物线方程,得0.82ay,即y.欲使卡车通过隧道,应有y3,即3.解得a12.21或a0)的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别为m、n,则_.【解析】由焦点弦性质知,抛物线的标准方程为x2y(
6、a0),2p,p,4a,即4a.【答案】4a3.已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,AB12,P为C的准线上的一点,则ABP的面积为_. 【解析】不妨设抛物线方程为y22px(p0),依题意,lx轴,且焦点F,当x时,yp,AB2p12,p6,又点P到直线AB的距离为p6,故SABPABp12636.【答案】364.如图244,已知AOB的一个顶点为抛物线y22x的顶点O,A、B两点都在抛物线上,且AOB90.图244(1)证明直线AB必过一定点;(2)求AOB面积的最小值.【解】(1)证明设OA所在直线的方程为ykx(k0),则直线OB的方程为yx,由解得A点的坐标为.同理由解得B点的坐标为(2k2,2k).AB所在直线的方程为y2k(x2k2),化简并整理,得yx2.不论实数k取任何不等于0的实数,当x2时,恒有y0.故直线过定点P(2,0).(2)由于AB所在直线过定点P(2,0),所以可设AB所在直线的方程为xmy2.由消去x并整理得y22my40.y1y22m,y1y24.于是|y1y2|2.SAOBOP(|y1|y2|)OP|y1y2|222.当m0时,AOB的面积取得最小值为4.