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1、数学基础知识与典型例题（第十章排列、组合、概率与统计）1分类计数原理 : 完成一件事，有n 类办法，在第1 类办法中有 m1 种不同的方法，在第2 类办法中有 m2 种不同的方法，在第n 类办法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有N=n1+n2+n3 + +nM 种不同的方法排 2. 分步计数原理 : 完成一件事 , 需要分成 n 个步骤 , 做第一步有 m1 种不同的方法 , 做第二步有 m2 种列不同的方法 , , 做第 n 步有 mn 种不同的方法， 那么完成这件事共有N=n1n2n3nM 种不同的方法与组注：分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组
2、合合数公式，也可用来直接解题。它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。只不过利用分类计算原理时，每一种方法都独立完成事件；如需连续若干步才能完成的则是分步。利用分类计数原理，重在分“类”，类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性.比较复杂的问题， 常先分类再分步 。3. 排列的定义：从 n 个不同的元素中任取排成一列，叫做从n 个m(m n)个元素，按照一定顺序不同元素中取出 m 个元素的一个排列 .排列数的定义 :从 n 个不同元素中取出m(mn)个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列 . 从 n 个不同元素中
3、取出m个元素的一个排列数，用符号 Anm 表示 . 其中 n，m N ，并且 mn排列数公式 : Anmn( n 1)(nm1)n!(m n, n, mN )( nm)!当 m=n 时，排列称为全排列， 排列数为 Ann = n(n1)2 1记为 n!, 且规定 O!=1.注： n n! (n 1)! n! ; AmnA m 1nn 14. 组合的定义 :从 n 个不同的元素中任取m( m n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出组合数的两个性质: C mn C nmn ;从 n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从 n 个不同元素中取出n-m 个元素的方法是一一对应
4、的，因此是一样多的. C m n1 C mnC n m1根据组合定义与加法原理得；在确定n+1 个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的 n 个元素中再取 m-1 个元素， 所以有 C m 1 ，如果不取这一元素， 则需从剩余 n 个元素n中取出 m 个元素，所以共有 C mn 种，依分类原理有 C m n1 C mnC n m1 .5解排列、组合题的基本策略与方法( ) 排列、组合问题几大解题方法：直接法 ;排除法 ;捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之排后再考虑它们 “局部 ”的排列 .它主要用
5、于解决 “元素相邻问题 ”;插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此列法主要解决 “元素不相邻问题 ”.与占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般组元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.合即采用 “先特殊后一般 ”的解题原则 .调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将 n 个元素进行全排列有Ann 种， m(mn) 个元素的全排列有 A mm 种，由于要求 m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m个元素次
6、序一定，共有A nn种排列 方法 .A mm( )排列组合常见解题策略：特殊元素优先安排策略；合理分类与准确分步策略；排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；正难则反，等价转化策略；相邻问题插空处理策略；不相邻问题插空处理策略；定序问题除法处理策略；分排问题直排处理的策略； “小集团 ”排列问题中先整体后局部的策略；构造模型的策略.6. 二项式定理 : 对于 n N ， (ab) nC n0a nb 0C n1a n 1bC nr a n rb rC nna 0b n, 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a b)n 的展开式 .注
7、:展开式具有以下特点：项数：共有 n 1项；系数：依次为组合数0 ,1,2 , r, n ;C nC nC nC nC nm 个元素的一个组合.组合数的定义:从 n 个不同的元素中取出取出 m 个元素的组合数用符号Cnm表示 .组合数公式 : Cnm A mnn(n1) (nA mmm!规定 Cn01 ，其中 m， n N+ ， m n.m( m n)个元素的所有组合数，叫做从n 个不同元素中m1)n!.m!(nm)!且每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依 a 的降幂排列， b 的升幂排列展开 . 二项展开式的通项： (ab)n 的展开式第 r+1 为 T r 1 Cnran rbr (
8、0r n,r Z). 二项式系数的性质 .二项展开式中的Cnr ( r0,1,2, ,n) 叫做二项式系数在二项展开式中与首未两项“等距离 ”的两项的二项式系数相等；即 C 0C n ,C1C n 1, , CrC n r .注 : 排列是 “排成一排 ”，组合是 “并成一组 ”, 前者有序而后者无序.nnnnnn二项展开式的中间项二项式系数最大n 1n1且当 k 时，二项式系数是逐渐减小的22n( )当 n 是偶数时 ,中间项是第 n1项 ,它的二项式系数 C 2n 最大 ;2n 1n 1n 1n 1nCn 最大 .( )当 n 是奇数时 ,中间项为两项 ,即第项和第1项,它们的二项式系数
9、C2222系数和： 所有二项式系数的和：C n0C n1C nn 2 n ;奇数项二项式系数的和偶数项而是系数的和 : C n0C n2 C n4C n1C n32 n 1.mmmmm 1 C mC m 1C m 2C m n C m n 1排 如 何 来 求 (a bc) n 展 开 式 中 含 a p b qc r的 系 数 呢 ？ 其 中 p, q, rN , 且列p q r n 把 (a b c) n ( ab) c n 视 为 二 项 式 ， 先 找 出 含 有 c r的 项与C nr (ab) n r cr ，另一方面在 (ab) n r 中含有 b q 的项为 C n rq a
10、n r qb qC n rq a pb q ，故组合在 ( ab c) n中 含 a pb q cr的 项 为 C nr C n rq a pb qc r.其系数为rqn !( n r )!n!pqrC n C n rr )!q!( n r q)!C n C n p C r .r !( nr !q ! p! 二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。例 1. 3 个班分别从 5个景点中选择 1处游览，不同的选法种数是()3(B)3533(A)5(C)A 5(D)C 5例 2.5 本不同的课外读物分给5 位同学 ,每人一本 ,则不同的分配方法有 ()(A)20 种(B)60 种(C)120 种(D)100 种例 3.6 个人排成一排，甲、乙、丙必须站在一起的排列种数为() .( A) A66( B) 3A33( C) A33 A33( D) A33A44x排例 4.如果集合 A= x C7 21 ，则组成集合 A 的元素个数有 () .
