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1、一道无棱二面角的不同解法如图所示，ABCD是直角梯形，ABC=900，SA底面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=0.5，求面SCD与面SBA所成二面角的大小。解法一：延长BA与CD，交于点P，连接SP。过点A作AESP，垂足为E，连接DE。SA底面ABCD,AD面ABCD SAADADAB SAAB=AAD面SABAE为ED在底SAB内的射影AESPEDSPAED即为面SCD与面SBA所成二面角的平面角在RtSAP中，SA=AP=1AE=在RtEAD中,tanAED= = AED=arctan点评：对于无棱二面角的求解，关键在于如何寻找二面角的棱。很明显，在这个题目中，已经知道了两个半平面
2、的一个公共点，要是再能找到两个半平面的另一个公共点，那么连接两个公共点的直线即为二面角的棱。在寻找二面角的平面角时，三垂线法是很重要的方法。在添加辅助线时也可以过点D作DESP，垂足为E，连接AE，是利用三垂线定理的逆定理。问题的关键是如何在其中一个半平面内寻找到一个特殊点，向另一半平面引垂线。方法二：SA底面ABCD,AD底面ABCDSAADADAB , ABSA=AAD面SAB同理BC面SABSDC在面SAB中的射影为SAB设面SCD与面SBA所成的二面角为，则cos=在RtSAD中,SD= 在RtSBC中,SC=过点D作DEBC，垂足为E，在RtDCE中，DC=在SDC中,cosSDC=
3、-sinSDC=SSDC=又SSAB=11=cos= =arcos点评：利用射影面积公式求二面角的关键是寻找或求作一条垂线，即从第一个半平面内的某一个点出发，垂直于另一个半平面的直线。此题的特别之处是从一个半平面出发有两条垂直于另一个半平面的垂线。方法三：以A为坐标原点，以BA、AB、AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 S(0,0,1) C(-1,1,0) D(0,0)=(-1,1,-1),=(0, ,-1) 设平面SCD的法向量为n=(x,y,z)n,nn=0,n=0解得x=z,y=2z 令z=1，则n=(1,2,1) 又平面SAB的法向量为AD=(0, ,0), COS= 由题意知，二面角为锐角，所以二面角的大小等于两法向量的夹角. 所求二面角的大小为arccos点评：将二面角转化为两个面的法向量所成的角或其补角，通过建立空间直角坐标系来解决。
