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1、第一章 质点运动学T1-4：BDDB1-9质点的运动方程为x = -iot + 30t 2 y = I5t - 20t 2 式中x,y的单位为m,t的单位为S 试求：(1) 初速度的矢量表达式和大小；(2) 加速度的矢量表达式和大小 解 (1) 速度的分量式为x= : = -10+60t y= 了 =15-40t当=0 时，ox =-10 m S-1，oy =15 m S-1， 则初速度的矢量表达式为v=-10;+15 j，初速度大小为 = + = 18.0 m - s0 0 0(2) 加速度的分量式为d“,a =云=60 m - s -2 a xdtyy = -40 m - s-2 dt则加
2、速度的矢量表达式为a = 60i - 40 j， 加速度的大小为a = ： a 2 + a 2 = 72.1 m - s-2x y1 -13 质点沿直线运动,加速度a=4 -12 ,式中a的单位为ms -2 ,t的单位为s.如果当t =3 s时,x=9 m, =2 ms -1，求(1) 质点的任意时刻速度表达式；(2)运动方程解：(1)由a=4 -t2及 a = dv ,dt有 J d = J adt = J (4 - t 2)dt得到 = 4t -113 + Ci 又由题目条件，t =3 s时 =2,代入上式中有2二4 x 3 -丄33 + C，解得C13 1 1= - 1 ，则 dx(2)
3、由v二dx及上面所求得的速度表达式, dt有 J dx = J vdt = J (4t - 313- 1)dt得到又由题目条件，=3皿=9,代入上式中有9 = 2 2 32 - 12 2 34 - 3 + C2，解得C2 = 75，于是可得质点运动方程为x = 2t2 一 14 一 t + 0.75121 -22 一质点沿半径为R的圆周按规律s = 一2bt2运动心、b都是常量.求t时刻质点的总加速度大小；t为何值时总加速度在数值上等于b? (3)当加速度达到b时，质点已沿圆周运行了多少圈？知识点：圆周运动的加速度的切向分量及法向分量表达式本题采用线量的方式来描述圆周运动的运动方程 解 (1)
4、 质点作圆周运动的速率为v = = vobtdt0其加速度的切向分量和法向分量分别为dv , a = -b，t dtv2(v - bt)2=0R R故加速度的大小为(2)要使a =+ a 2 = b，由a = a2 + a2 =n t+ (v0 -bt )4R2二b可得.R2b2 + (v - bt)4ir2从t=0开始到t=00 /b时，质点经过的路程为v2=02bv20因此质点运行的圈数为sn =2nR 4 nbR1-23 半径为0.50 m的飞轮在启动时的短时间内，其角速度与时间的平方成正比在t2.0 s时测得轮缘一点的速度值 为4.0 ms-1.求：(1)该轮在/0.5 s的角速度，轮
5、缘一点的切向加速度和总加速度；(2)该点在2.0s内所转过的角度.d0 分析-题目的另一种描述方法：一质点(即题目中轮缘一点)作半径为R=0.50 m的圆周运动，且(t) = kt2 ,dt其中k为未知常数。在t=2.0 s时v = 4 ms-1 求：(1)在/0.5 s时质点的角速度,切向加速度和法向加速度；(2)取/=0S 时00 = 0，求t=2.0 s 时的0 (t = 2)。知识点：第一问-圆周运动的加速度的切向分量及法向分量表达式；第二问-运动学积分问题：已知速度及初位置求某时 刻质点位置/、7解因 =.,且(t)=击=kt2得v = R (t) = R k 12，将t2.0 s时
6、v = 4 ms-1代入上式解得k = 2 ,所以e = e(t) = 2t 2则t0.5s时的角速度、角加速度和切向加速度分别为w = 2t2 = 0.5 rad - s-1=R 农=4 Rt = 1dta = Rw 2 n= 4Rt 43- 3 = f2dt = J22t2dt = 13 2 = 5.33 rad 0 0 0 3(2)在2.0 s内该点所转过的角度0，有或者：由w(t)=孚=2t 2，有f d0=fw(t )dt = f 2t 2dt，得到3 = 113 +C。又由题目条件，取皿时0 0 = ，解得c=0。贝y在2.0 s内该点的角度为3 =1 -24 一质点在半径为0.1
7、0 m的圆周上运动，其角位置为3 = 2 + 4t3,式中&的单位为rad,t的单位为s. (1)求在t =2.0 s时质点的法向加速度和切向加速度.(2)当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时，&值为多少？t为多少时，法 向加速度和切向加速度的值相等？ 知识点：圆周运动的加速度的切向分量及法向分量表达式.d3解(1)由于3 = 2 + 4t3,则角速度=不=12t2 在t =2 s时，法向加速度和切向加速度的数值分别为=Rw 2 = 2.30 m - s-2 t=2sat t=2 s=R 号=4.80 m -s -21 I(2)当a = a/2 = pa2 + a2 时，有3a2 =
8、a2,即 t 2 * 一3(24Rt )2 = R 2 (12t 2t3此时刻的角位置为3 = 2+4t3= 3.15 rad要使a = a，则有nt3(24Rt)2 = R2 (12t2 )4t =0.55s第二章 牛顿定律T1-4：DACB2 -14 一质量为10 kg的质点在力F的作用下沿x轴作直线运动，已知F =120t +40,式中F的单位为N，t的单位的s.在t =1时，质点位于x =5.0 m处,其速度v = 9 m- s -1 .求质点（1）在任意时刻的速度和（2）位置.知识点：牛顿第二定律应用：已知力及初速度（或某个时刻的速度）求任意时刻速度解 （ 1 ）由牛顿第二定律有a
9、12t + 4mdv由a =乔有 f dv = f adt = f (12t + 4)d t得到v 6t 2 + 4t + C 。，则 v 6t2 + 4t 11又由题目条件，t =1 sv =9,代入上式中解得C1 = 1dx(2)由v =及上面所求得的速度表达式,dt有 f dx = f vdt = f (6t 2 + 4t 一 1)dt得到x 2t3 + 2t2 t + C2又由题目条件，t =1 s时工=5,代入上式中解得C2 = 2，于是可得质点运动方程为x = 2t 3 + 2t 2 t + 22 -20质量为45.0 kg的物体，由地面以初速60.0 m- s -i竖直向上发射，
10、物体受到空气的阻力为=kv,且k = 0.03 N/（ m- s -i ）. （1）求物体发射到最大高度所需的时间。知识点：牛顿第二定律应用：已知力及初速度（或某个时刻的速度）求任意时刻速度。在这个题目中，并不需要得到速 度的表达式，只需要得到速度和时间之间的关系式。解（1）物体在空中受重力mg和空气阻力Fr =kv作用而减速由牛顿定律得dv(1)一 mg 一 kv mdtdv将上式改写成微元等式，有Dt = 一厂g + vmf & = f dv，积分得到 t = m ln( g + - v) + Cokk mg + vm由题意，将t=0时速度为v0 60代入上式，有0 - -mln(g +
11、-v“ + C，即c mln(g + kv，0k m 0k m 0i亠v故有时间和速度的关系为 m、， k _、 m、， k _、 m、， mg 0、t = ln(g + v ) 一； ln(g + v) ; ln(k)km0 kmk + k vmg又当物体发射到最大高度时，速度0 = 0，所以有此时所对应时间为t = lnfl + 岛K 6.11s。k I g 丿2 -22质量为的摩托车，在恒定的牵引力F的作用下工作，并受到一定的阻力，使得它能达到的最大速率是om 试计算 以下情况从摩托车由静止加速至Uom/2所需的时间：阻力Fr =血；（2）阻力Fr =ku ，其中k为未知比例系数。知识点
12、：牛顿第二定律应用：已知力及初速度（或某个时刻的速度）求任意时刻速度。和上题一样，在这个题目中，并 不需要得到速度的表达式，只需要得到速度和时间之间的关系式。解 （1）设摩托车沿x轴正方向运动，在牵引力F和阻力Fr同时作用下,由牛顿定律有F - k 2 =dt当加速度a =do/dt =0时，摩托车的速率最大，此时牵引力和阻力相抵消，因此可得k=F/02代入上式中有将上式改写成微元等式，并利用1-=211 + -(2、I 丿有 Fdt =d=m dtFt =-21卜1-d1 dv dv=_ ( +1 -竺 21+2，两边积分有1+殳 。ln(1+) 一 ln(1-) + C -ln() + C
13、 。 2 1 - _2由t=0时，v=0，代入上式，有C=0。1+- 则当=如2时，有t =竺 ln( 2)2 F - 1 -12 ln32 F （2）设摩托车沿x轴正方向运动，在牵引力F和阻力Fr同时作用下,由牛顿定律有F - k =竺dt当加速度a =d/dt =0时,摩托车的速率最大,此时牵引力和阻力相抵消,因此可得k=F/代入上式中有 F 1 -=I 丿将上式改写成微元等式，有F形dv，两边积分有dt = 1 一 也，dtF。t = - ln(1-) + C由t=0时，v=0，代入上式，有C=0o则当=m/2时，有t =m 、/1、 一 ln(l一) = ln2 F 2 F 第三章 动量守恒定律和能量守恒定律T1，T3、4、5：CCDC3 -6 一架以3.0 xl02 ms-1的速率水平飞行的飞机,与一只身长为0.20 m、质量为0.50 kg的飞鸟相碰设碰撞后飞鸟的 尸体与飞机具有同样的速度,而原来飞鸟对于地面的速率甚小,可以忽略不计试估计飞鸟对飞机的冲击力（碰撞时间可用飞鸟身 长被飞机速率相除来估算）.知识点：质点动量定理的应用：已知速度变化求平均作用力解以飞鸟为研究对象，取飞机运动方向为x轴正向由动量定理得=mv 0式中F为飞机对鸟的平均冲力，等
