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1、江苏省2014年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷(四)高等数学注意事项：1 .考生务必将密封线内的各项填写清楚。2 .考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上，3 .本试卷五大题24小题，满分150分，考试时间写在草稿纸上无效。120分钟。、选择题(本大题共6小题，每小题4分，共24分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把所选项前得字母填在题后的括号内)1、设当xt0时，f(x)=xsinax与中(x)=x2ln(1bx)为等价无穷小，则(2、-1,.1A.a=1,b=-B.a=1,b=66C.a=-1,b=-6D.a=-1,b=16A.0sinsin(x-1)=(lnxB
2、.1C.2D.413、0在x = 0处连续，则常数a的值为(tanx、一.x设函数arcsin2C. 2dx dyeae*A.1B.2C.-1D.-24、设f(x)的一个原函数为xInx,则f(3x+3)dx=(A. (3x 3)ln(3x 3) c B.ln(3x 3) cC.3ln(3x 3) cD. 11n(3x 3) c5、设a=(1,1,2),b=(2,1,3),则(a+b)M6、A.(1,1,-1)B.(1,-1,1)C.(1,-1,-1)D.(-1,1,1)设z=ln(x2+lny),则dz(1,e)=(111A. dx -dy B. dx dy2221D.dxdy2e二、填空题
3、7、limx1-2x=x二i8、设中(x)=f2tln(1+t2)dt,贝U5(x)=cosx9、j(x)=1 x+ xdx =10、设D=(x,y)x2+y21+xxaa22、设f(x)在0,a】上连续，证明：.10f(x)dx=J：f(x)+f(a-x)dx并进而证明(1)(2)2二二xf(cosx)dx=2二f(cosx)dxn-0f(sinx)dx=202f(sinx)dx五、综合题23、在曲线y=Jx上求一点M0,使曲线在点M0处得切线平彳T于直线x-2y=5(1)求切线方程(2)求曲线y=Jx,切线及y轴所围成的平面图形的面积(3)求上述平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积24、
4、设函数y=f(x)(x至0)满足条件:(1)0Mf(x)ex-1(2)平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=ex_1交与点p1和p2:(3)曲线，直线MN与x轴所围成封闭图形的面积恒等于线段P1P2的长度，求y=f(x)的表达式江苏省2014年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷解析（四）高等数学、选择题（本大题共 6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的，请把所选项前得字母填在题后的括号内）1、2设当xt0时，f （x） = x sinax与中（x） = x ln（1bx）为等价无否小，则（-,1- ,1一 .1A. a = 1,b= -B. a =
5、 1,b =C. a = - 1,b= -D.666,1 a = - 1,b = 6x - sin ax x-sin ax 1 - a cosax解析：lim 二 lim 二 limx)0 x2ln(1 - bx) x W x2(-bx)x)0-3bx22因为分母-3bx是无穷小量，分子1-a cosax也必须是无穷小量,即1 a =0x。sin x x。sin x从而 lim -3二 lim x 0 x ln(1 -bx) x x (-bx)1 -cosx二 lim2-x，0 -3bx1 2-x lim 2 x w -3bx1二16b本题选A2、极限limx 1sinsin(x-1)ln x
6、A. 0B. 1C. 2D. 4In x = ln1 (x -1) x-11时，sinsin(xB)sin(xQ)xE1sinsin(x-1)lim-二limx-1lnxx13、1-etanx ., 、. x 设函数 f(x)= arcsin-2x aex 0在x = 0处连续，则常数x445、设a=(1,-1,2),b=(2,-1,3),则(a+b)Ma=()A.(1.1,-1)B.(1,7,1)C.(1,-1,-1)D.(-1,1.1)解析：该题考察向量的运算关于向量的叉乘aMa=0,则(a+b)Ma=aMa+bMa=bMa112132答案选C26、设z=ln(x+lny),则dz(1,e
7、)=(111A.-dx-dyB.dx-dy2221C.2dx-dyeD.dxdy2e解析：该题考察多元函数的全微分若z=f(x,y)可微，则dz=fx,(x,y)dx+fy(x,y)dy,dz(%小)=fxE,y()dx+f；(xcy()dy本题中,2x,ydz二-dx-xInyxInydydz(1e)=dx-e-(1,e)11,1,dy=dxdy2e答案选D二、填空题7、叫折石=1n(12)im1n(1Nx)Hm0解析：limx1-2x=limex=ex二x=ex1/x)=e=1xJ二x_j：.128、设中(x)=,tln(1+t)dt，则中(x)=cosx解析：变上限函数的求导公式，对于很
8、多同学可能会觉得不容易记牢在记忆时不彷考虑牛顿莱布尼兹公式辅助记忆a(：)=Fb(x)-Fa(x)b(x)f(t)dt=F(t)a(x)b(x)晨出)Wb(刈-Fa(刈)=f(b(x)b(x)-f(a(x)a12cosx2tln(1t2)dtcosx二(-cosx2)ln1(cosx2)2(-sinx2)(2x)22、2-=-xsin2xln1(cosx)1x+x9、？(x)=2x2dx=1 x解析： (x)=2 x2dx+ ( 22 x2ixi1dx=2dx=d(2x2)02x202x2213=ln(2+x2)0=n-10、设D=(x,y)x2+y2仆，则JJ(1-y)dxdy=D解析：该题
9、涉及两个知识点：二重积分的对称性和二重积分的简单性质二重积分的对称性：口f(x,y)dxdy如果积分区域D是对称的，且被积函数f(x,y)在对称区域上的对称点的函D数值若互为相反数，则f(x,y)dxdy=0D口f(x,y)dxdy如果积分区域D是对称的，且被积函数f(x,y)在对称区域上的对称点的函D数值相等，则仃f(x,y)dxdy=2JJf(x,y)dxdy,D1是积分区域D的对称部分。DD111(1-y)dxdy=1dxdy11ydxdyDDDW1dxdy=SD=n；口ydxdy中积分区域D是关于x轴对称的，对称点处得被积函数互为相反数，从而口ydxdy=0;所以JJ(1一y)dxdy
10、=J1dxdyJydxdy=：3DDDD11、设备级数oOzn衽2n 1(x-2)n 4n的收敛域为oO哥级数Z anxn的收敛半径n 1解析：该级数是跳项级数r=im-an-,收敛区间为(-R,R),nan1收敛域为(-R,R)+收敛区间端点。但是该级数是跳项级数，不符合上面的理论。说对于形如ananx2n或是ananx2n中跳项级数的收敛半径和收敛域的求法如下n4n4方法一：将哥级数的通项anX2n或是anX2n看做常数项，设bn=anX2n或是bn=HnX2n平，使用一般项级数的处理方法求解；方法二：对于跳项级数使用方法一中的处理手段可以证明r=lim-an一，收敛区间为Ml日(-R,R)，再继续讨论区间端点的收敛性，可得收敛域。本题的收敛半径R=llim丹=Jlim(n+1)?=2，收敛区间为(0,4);anin4n当x = 0时，原级数变为二 1,山-Z ,级数发散;n2 n当x =4时，原级数变为,级数发散;n： 2 n故收敛域为(0
