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1、2019年北师大版精品数学资料核心必知1平面向量数量积的概念(1)向量的夹角定义已知两个非零向量a和b，如图所示，作a，b，则AOB叫作向量a与b的夹角范围0180，当0时，a与b同向；当180时，a与b反向；当90时，称a与b垂直，记作ab (2)规定：零向量与任一向量垂直(3)向量b在a方向上的射影定义：如图，a，b，过点B作BB1OA于点B1则OB1|b|cos .|b|cos_叫作向量b在a方向上的射影数值特征：的范围00909090180180续表图形正负正数|b|正数0负数负数|b|(4)向量的数量积定义已知两个向量a和b，它们的夹角为，把|a|b|cos 叫作a与b的数量积(或内
2、积)，记作ab，即ab|a|b|cos 几何意义a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cos 的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos 的乘积物理意义力对物体做功，就是力F与其作用下物体的位移s的数量积 Fs2.数量积的性质(1)若e是单位向量，则 eaae|a|cos_(2)若ab，则ab0；反之，若ab0，则ab.通常记作abab0(3)|a|(4)cos (|a|b|0)(5)对任意两个向量a，b，有|ab|a|b|.当且仅当ab时等号成立3数量积的运算律若给定向量a，b，c和实数，则数量积满足：(1)交换律：abba；(2)数乘向量结合律：(a)b(ab
3、)a(b)；(3)分配律：a(bc)abac问题思考1向量b在a方向上的射影仍是一个向量，对吗？提示：不对向量b在a方向上的射影不是向量而是数量，它的符号取决于两向量夹角的取值范围2两向量a与b的数量积是一个向量，对吗？提示：不对向量的数量积是一个实数，其值可正，可负，可以为0.讲一讲1已知向量a与b的夹角120，且|a|4，|b|2，求(1)a(b)；(2)(a2b)(ab)尝试解答(1)向量a与b的夹角120，向量a与b的夹角为18060.a(b)|a|b|cos 60424.(2)(a2b)(ab)a2ab2ba2b2|a|2ab2|b|2|a|2|a|b|cos 2|b|24242co
4、s 12022212.1求两向量数量积的一般步骤是：(1)求向量a与b的夹角；(2)分别求|a|，|b|；(3)计算ab|a|b|cos .2对于形如本讲(2)的数量积运算，类似于多项式的乘法运算，但注意展开时两向量的“积”为数量积，需用“”连接，不能写成ab或ab.练一练1多维思考在本讲的条件不变的情况下，求：(1)(ab)2；(2)(a2b)(a3b)解：(1)(ab)2a22abb2|a|22|a|b|cos 120|b|242242()2228.(2)(a2b)(a3b)a23ab2ba6b2|a|2ab6|b|2|a|2|a|b|cos 1206|b|24242()6224.讲一讲2
5、已知|a|b|2，(1)若ab2，试求a与b的夹角；(2)若a与b的夹角为150，试求|ab|.尝试解答(1)设a与b的夹角为，则：cos .0180，45.(2)|ab|2(ab)2a22abb2|a|22|a|b|cos 150|b|222222()2284.|ab|.1求向量的夹角主要是利用数量积的变形公式cos .求解时应抓住两个“积”考虑，一是数量积ab，二是模的积|a|b|，同时注意向量夹角的取值范围是0，2求向量的长度，关键是合理运用性质|a|，以及数量积公式ab|a|b|cos .练一练2. 已知a，b是两个非零向量，且|a|b|ab|，求a与ab的夹角|a|b|ab|.OAB
6、是等边三角形，设其边长为m.则a(ab)a2ab|a|2|a|b|cos 60m2m2m2.|a|ab|mmmm m2.设a与ab的夹角为，则cos .0180，30，即a与ab的夹角为30.讲一讲3已知|a|3，|b|4，且a与b不共线，k为何值时，向量akb与akb垂直？尝试解答(akb)(akb)，(akb)(akb)0，a2(kb)20，即|a|2k2|b|20，又|a|3，|b|4，916k20，得k，当k时，向量akb与akb垂直有关向量的垂直问题是向量数量积的重要应用之一，解决该类问题主要运用性质abab0，同时注意运算时要正确把握向量数量积的运算律练一练3已知a，b是非零向量，
7、且满足(3ab)a，(4ab)b，则a与b的夹角是()A.B.C. D.解析：选D设a与b的夹角为，由题意得：|a|，|b|2.cos .0，.设正三角形ABC的边长为，b，求abbcca. 错解ABC为正三角形，且边长为.abbcca|a|bcos 60|b|c|cos 60|c|a|cos 603()23.错因错解在于未正确理解向量夹角的含义，向量a与b、b与c，c与a的起点均不同，所以它们夹角并非60，应是120.正解ABC为正三角形，边长为，向量a与b，b与c，c与a的夹角均为120.|a|b|c|，abbcca3ab3|a|b|cos 1203()2()3.1设向量ab40，|b|1
8、0，a在b方向上的射影为()A4B4C4 D8解析：选Aab|a|b|cos ，a在b方向上的射影|a|cos 4.2已知向量a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，则m()A8 B6C6 D8解析：选D法一：因为a(1，m)，b(3，2)，所以ab(4，m2)因为(ab)b，所以(ab)b0，所以122(m2)0，解得m8.法二：因为(ab)b，所以(ab)b0，即abb232m32(2)2162m0，解得m8.3若e1，e2是夹角为的单位向量，且a2e1e2，b3e12e2，则ab等于()A1 B4C D.解析：选Cab(2e1e2)(3e12e2)6e4e1e23e1e22e6|e1|
9、2|e1|e2|cos 2|e2|262.4(新课标全国卷)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则_.答案：25(全国新课标)已知向量a，b夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_解析：依题意，可知|2ab|24|a|24ab|b|244|a|b|cos 45|b|242|b|b|210，即|b|22|b|60，|b|3(负值舍去)答案：36已知|a|1，|b|，设a与b的夹角为.(1)若，求|ab|；(2)若a与ab垂直，求.解：(1)|ab|2(ab)2a22abb2|a|22|a|b|cos |b|21223|ab|.(2)若a与ab垂直，则a(ab)0，a2ab0，ab
10、|a|21.cos .0180，135.一、选择题1已知|b|3，a在b方向上的射影是，则ab()A3 B.C2 D.解析：选B设a，b的夹角为(0)依题意，|a|cos ，而|b|3.ab|a|b|cos 3.2设向量a，b满足|a|b|1，ab，则|a2b|()A. B.C. D.解析：选B|a2b|2(a2b)2a24ab4b2|a|24ab4|b|21443，|a2b|.3已知|a|1，|b|6，a(ba)2，则向量a与向量b的夹角是()A. B.C. D.解析：选C设向量a与向量b的夹角为(0)，由条件得aba22，所以ab2a23|a|b|cos 16cos ，所以cos ，又因为
11、0，所以.4若向量a，b，c满足ab且ac，则c(a2b)()A4 B3C2 D0解析：选Dac，ac0.ab，bc.bc0，c(a2b)ca2bc0.二、填空题5已知|a|1，|b|3，|ab|4，则|ab|_解析：由|ab|2a22abb2得1612ab9，2ab6|ab|2a22abb21694|ab|2.答案：26已知平面向量a，b，|a|1，|b|2，且|2ab|，则向量a与a2b的夹角为_解析：由|2ab|得，4|a2|4ab|b|210，4124ab2210，ab，a(a2b)|a|22ab120.故a(a2b)，即a与a2b的夹角为90.答案：907已知e1，e2是夹角为的单位向量，ae12e2，bke1e2，若ab0，则k的值为_解析：ab(e12e2)(ke1e2)ke(12k)e1e22ek(12k)11cos 22k0，
