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1、第21讲转化与化归思想 转化与化归思想是指在处理问题时，把待解决或难解决的问题通过某种方式转化为一类已解决或比较容易解决的问题的一种思维方式应用转化与化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽可能是等价转化，在有些问题的转化时只要注意添加附加条件或对所得结论进行必要的验证就能确保转化的等价常见的转化有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面的转化、常量与变量的转化、图象语言、文字语言与符号语言的转化等分类讨论思想、函数与方程思想、数形结合思想都是转化与化归思想的具体体现常用的变换方法：分析法、反证法、换元法、待定系数法、构造法等1. 已知正实数x
2、、y满足1，则xy的取值范围是_答案：4，)解析：1得xyxy，由基本不等式得xy，即xy4.2. 若不等式x2ax10对一切x都成立，则实数a的最小值为_答案：解析： x2ax10对一切x都成立， a，而yx在上单调增，ymax，故amin.3. 已知平面向量a、b、e满足|e|1，ae1，be2，|ab|2，则ab的最小值为_. 答案：解析：如图所示，建立直角坐标系 |e|1， 不妨设e(1，0) ae1，be2， 可设a(1，m)，b(2，n) ab(1，mn) |ab|2， 2，化为(mn)23， (mn)234mn0， mn，当且仅当mn时取等号 ab2mn2.4. 已知函数f(x)
3、x33bx3b在(0，1)内有极小值，则实数b的取值范围是_答案：0b1解析： f(x)3x23b0，x，显然b0， 单调区间为(，)，(，)，(，)， x时取极小值，即01，则0b1.题型一 把向量问题转化为三角和不等式问题例1 已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，求的最小值解：设APB，0，则|PA|PB|coscos，换元：令xsin2，0x1，则2x323，当且仅当2x，即x(0，1)时取等号，故的最小值为23.设x、y均为正实数，且1，以点(x，y)为圆心，Rxy为半径的圆的面积最小时圆的标准方程为_答案：(x4)2(y4)2256解析： 1， x.令zy
4、1，则yz1，z0， xyz1061016，当且仅当z，即z3时，取等号此时y4，x4，半径xy16. 圆的方程为(x4)2(y4)2256.题型二 把不等式问题转化为函数问题例2 若不等式x2px4xp3对一切0p4均成立，求实数x的取值范围解：不等式x2px4xp3对一切0p4均成立，即(x1)p(x24x3)0对一切0p4均成立，令f(p)(x1)p(x24x3)，则解得x3或x1，即实数x的取值范围是x(，1)(3，) 已知p、r、q成等比数列，p、q成等差数列，当1p3q7时，则实数r的取值范围为_答案：解析：由p，r，q成等比数列，p，q成等差数列，得pqr2，pqr(r1)，由此
5、我们联想到韦达定理，即两根之和为，两根之积为r2，所以p，q为方程x2r(r1)xr20的两根，且一根在(1，3)内，另一根在(3，7)内记f(x)x2r(r1)xr2，所以解得3r，所以实数r的取值范围为题型三 把数列问题转化为方程问题例3 在数列an中，a1，前n项和Sn满足Sn1Sn n1(nN*)(1) 求数列an的通项公式an以及前n项和Sn；(2) 若S1、t (S1S2 )、3(S2S3) 成等差数列，求实数t的值解：(1) 由Sn1Sn(nN*)，得an1.又a1，故an(nN*)，Sn.(2) 由(1)得S1，S2，S3，且S13(S2S3)2t(S1S2)，则3t2，得t2
6、.已知数列an是等差数列，a1a2a315，数列bn是等比数列，b1b2b327.(1) 若a1b2，a4b3，求数列an和bn的通项公式；(2) 若a1b1，a2b2，a3b3是正整数且成等比数列，求a3的最大值解：(1) 由题得a25，b23，所以a1b23，从而等差数列an的公差d2，所以an2n1，从而b3a49，所以bn3n1 .(2) 设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，则a15d，b1，a35d，b33q. 因为a1b1，a2b2，a3b3成等比数列，所以(a1b1)(a3b3)(a2b2)264. 设m、nN*，mn64, 则整理，得d2(mn)d5(mn)800
7、. 解得d(舍去负根). 因为a35d，所以要使得a3最大，即需要d最大，即nm及(mn10)2取最大值因为m、nN*，mn64, 所以当且仅当n64且m1时，nm及(mn10)2取最大值. 从而最大的d， 所以，最大的a3.题型四 函数综合问题的转化例4 已知函数f(x)ax21，g(x)x3bx，其中a0，b0.(1) 若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点P(2，c)处有相同的切线(P为切点)，求a、b的值；(2) 令h(x)f(x)g(x)，若函数h(x)的单调递减区间为，求： 函数h(x)在区间(，1上的最大值M(a)； 若|h(x)|3在x2，0上恒成立，求a的取值范围解：(
8、1) 由f(x)ax21，g(x)x3bx，P(2，c)为公共切点，可得f(x)2ax，k14a，g(x)3x2b，k212b.又f(2)4a1，g(2)82b， 解得a，b5.(2) h(x)f(x)g(x)x3ax2bx1，则h(x)3x22axb. 函数f(x)g(x)的单调递减区间为， x时，有3x22axb0恒成立此时x是方程3x22axb0的一个根， 32ab0，得a24b， h(x)f(x)g(x)x3ax2a2x1.又函数h(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，若1，即a2时，最大值为h(1)a；若1，即2a6时，最大值为h1；若1时，即a6时，最大值为h1.综上所述
9、，M(a) 由可知h(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， h为极大值，h1，h为极小值，h1. |f(x)g(x)|3在x2，0上恒成立，又h(0)1， 即解得 a的取值范围是42a6.已知函数f(x)x2lnx(aR)(1) 当a0时，求函数f(x)的单调递增区间；(2) 若x1，3，使f(x)0，则x的取值范围是_答案：(1，3)解析：因为f(x)是偶函数，所以不等式f(x1)0f(|x1|)f(2)因为f(x)在0，)上单调递减，所以|x1|2，解得1x2a2，得f(x)a2；当a20时，f(x)mina2. 函数f(x)为奇函数， 当x0时，f(x)maxa2. 对xR，都有f(x1)f(x)， 2a2(4a2)1，解得a.故实数a的取值范围是.4. (2014湖南卷)在平面直角坐标系中，O为原点，A(1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足|1，则|的最大值是_答案：1解析：因为
