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1、精品数学高考复习资料第4讲复数的概念及运算基础巩固1.i是虚数单位,复数等于()A.1-iB.-1+iC.1+iD.-1-i答案:C解析:=1+i.2.如果(m2+i)(1+mi)是实数,则实数m等于()A.1B.-1C.D.-答案:B解析:方法一:(m2+i)(1+mi)=m2+m3i+i+mi2=m2-m+(m3+1)i.(m2+i)(1+mi)为实数,m3+1=0.故m=-1.方法二:代入验证法.将m=-1代入检验可知.来源:方法三:若(m2+i)(1+mi)为实数,则(m2+i)(1+mi)=(m2-i)(1-mi),求解可知.3.在复平面内,复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象
2、限C.第三象限D.第四象限答案:D解析:=1-i,对应的点为(1,-1).故选D.4.i是虚数单位,复数等于()A.2+iB.2-iC.-2+iD.-2-i来源:学科网答案:B解析:=2-i.5.(2013广东,文3)若i(x+yi)=3+4i,x,yR,则复数x+yi的模是()A.2B.3C.4D.5答案:D解析:i(x+yi)=-y+xi=3+4i,x+yi=4-3i.|x+yi|=5.6.(2013陕西,文6)设z是复数,则下列命题中的假命题是()A.若z20,则z是实数B.若z20,则z是虚数C.若z是虚数,则z20D.若z是纯虚数,则z20答案:C解析:由复数的基本知识可知:z2能与
3、0比较大小且z20,则z为实数,所以A正确;同理,z20,则z是纯虚数,所以B正确;反过来,z是纯虚数,z20,D正确;对于选项C,不妨取z=1+i,则z2=2i不能与0比较大小.7.i是虚数单位,若=a+bi(a,bR),则ab的值是()A.-15B.-3C.3D.15答案:B解析:=-1+3i,a=-1,b=3,ab=-3.8.若复数z=1+i(i为虚数单位),是z的共轭复数,则z2+的虚部为()A.0B.-1C.1D.-2答案:A解析:因为z=1+i,所以=1-i.而z2=(1+i)2=2i,=(1-i)2=-2i,所以z2+=0.故选A.9.设复数z满足z(2-3i)=6+4i(i为虚
4、数单位),则z的模为.答案:2解析:z(2-3i)=6+4i,z=2i.故|z|=2.来源:10.若复数z=x+yi(x,yR)满足|z-1|=x,则复数z对应的点Z(x,y)的轨迹方程为.答案:y2=2x-1(x0)解析:由|z-1|=x,得|(x-1)+yi|=x,因此(x-1)2+y2=x2(x0),整理,得y2=2x-1(x0).11.当实数m取何值时,复数z=(m2-3m+m2i)-4+(5m+6)i为实数?为虚数?为纯虚数?解:先把复数z整理成z=(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i.(1)当m2-5m-6=0,即m=-1或m=6时,z是实数.(2)当m2-5m-60,即m-1
5、且m6时,z是虚数.(3)当也即m=4时,z是纯虚数.12.已知z是复数,z+2i,均为实数(i为虚数单位),且复数(z+ai)2在复平面内对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.解:设z=x+yi(x,yR),z+2i=x+(y+2)i,由题意得y=-2.(x-2i)(2+i)=(2x+2)+(x-4)i,由题意得x=4.z=4-2i.(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,根据条件,可知解得2a6,实数a的取值范围是(2,6).13.已知复数z1=2+i,2z2=,(1)求z2;(2)若ABC的三个内角A,B,C依次成等差数列,且=cos A+2icos2,求|+z2|的取值
6、范围.解:(1)z2=-i.(2)在ABC中,内角A,B,C依次成等差数列,B=60,A+C=120.又+z2=cos A+2icos2-i=cos A+i=cos A+icos C,|+z2|2=cos2A+cos2C=cos(A+C)cos(A-C)+1=1+cos 120cos(A-C)=1-cos(A-C).A+C=120,A-C=120-2C.因此-120A-C120.故-cos(A-C)1,从而可得|+z2|2,即|+z2|.拓展延伸14.设z是虚数,=z+是实数,且-12.(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;(2)设u=,求证:u为纯虚数;(3)求-u2的最小值.解:(1)z是虚数,可设z=x+yi,x,yR,且y0,故=z+=x+yi+=x+yi+=x+i.是实数且y0,y-=0.因此x2+y2=1,即|z|=1.此时=2x.-12,-12x2,从而有-x1,即z的实部的取值范围是.(2)证法一:u=-i,x,y0,0.故u为纯虚数.证法二:z为虚数,且|z|=1,z=1,即.于是u+=0.故u为纯虚数.(3)-u2=2x-=2x+=2x+=2x+=2x-1+=2(x+1)+-3,-x0.于是-u2=2(x+1)+-3来源:2-3=1,当且仅当2(x+1)=,即x=0时等号成立.故-u2的最小值为1,此时z=i.来源:精品备战高考复习题精品备战高考复习题
