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1、第10计 聋子开门 慧眼识钟计名释义一群人到庙里上香，其中有一个聋子，还有一个小孩.上香完毕，发现小孩不见了.半天找不到影子后，大家来“问”这聋子.聋子把手一指，发现小孩藏在大钟底下，而且还在用手拍钟.大家奇怪，连我们都没有听见小孩拍钟的声音，聋子怎么听着了呢？其实，大伙把事情想错了，聋子哪里听到了钟声，只是凭着他的亮眼，发现大钟底下是好藏小孩的地方.聋子的直觉感往往超过常人.数学家黎曼是个聋子，据说，他所以能创立他的黎曼几何，主要受益于他的超人的直觉看图.为了增强直觉思维，建议大家在解数学题时，不妨装装聋子，此时，难题的入口处，可能闪出耀眼的灯光.典例示范【例1】 若(1-2x)2008 =
2、 a0+a1x+a2x2+ax2008(xR), 则(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+(a0+a2008)= (用数字作答)【思考】 显然a0=1, 且当x=1时，a0+a1+a2008=1, 原式=2008a0+a1+a2+a2008=2007+(a0+a1+a2008)=2007+1=2008.【点评】 本例的易错点是：必须将2008a0拆成2007a0+a0,否则若得出2008+1=2009就错了.【例2】 对于定义在R上的函数f (x)，有下述命题：若f (x)是奇函数，则f (x-1)的图象关于点A（1，0）对称；若对xR, 有f (x+1)= f (x-1), 则f
3、(x)的图象关于直线x=1对称；若函数f (x-1)的图象关于直线x=1对称，则f (x)是偶函数；函数f (1+x)与f (1-x)的图象关于直线x=1对称.其中正确命题的序号为 .【思考】 奇函数的图象关于原点对称，原点右移一单位得（1，0），故f (x-1)的图象关于点A（1，0）对称，正确；f (x)= f(x+1)-1= f (x+2)，只能说明f (x)为周期函数，不对；f (x-1)右移一单位得f (x)直线x=1左移一单位得y轴，故f (x)的图象关于y轴对称，即为偶函数，正确；显然不对，应改为关于y轴对称.例如设f (x)=x, 则f (1+x)=1+x, f (1-x)=1
4、-x,两图象关于y轴对称.【点评】 本例的陷沟是：容易将f (1+x)与f (1-x)误认为f (1+x)=f (1-x)，这是容易鱼目混珠的地方, 而后者才是R上的函数f (x)的图象关于直线x=1对称的充要条件.【例3】 关于函数f (x)=2x-2-x (xR).有下列三个结论：f (x)的值域为R; f (x)是R上的增函数；对任意xR, 都有f (x)+f (-x)=0成立，其中正确命题的序号是 (注：把你认为正确命题的序号都填上).【解答】 由y(2x)2-y2x-1=0.关于2x的方程中，恒有=y2+40. yR 真.y1=2x, y2=都是R上的增函数，y=y1+y2=2x-2
5、也是R上的增函数，真.f (-x)=2-2x = -(2x-2)=-f (x),当xR时，恒有f (x)+f (-x)=0（即f (x)为R上的奇函数) 真.【点评】 高考试题中的小题，已出现了多项选择的苗头，其基本形式如本例所示，多选题中的正确答案可能都是，也可能不都是，还有可能都不是（这种形式多反映在选择题中，其正确答案为零个）.由于许多考生的思维定势是以为多选题只有“不都是”一种情况，往往难以相信“都是”或“都不是”.这也是这种题型的陷阱所在.正确的对策：不受选项多少的干扰，只要你能证明某项必真则选，否则即不选.本例是“全选”（即“都是”）的题型.对应训练1.设F是椭圆的右焦点，且椭圆上
6、至少有21个不同的点Pi (i=1,2,3,),使|FP1|，|FP2|,|FP3|,组成公差为d的等差数列，则d的取值范围是 .参考答案1.椭圆中：a=, b=, c=1.e =,设Pi的横坐标为xi, 则|FPi|=(7-xi), 其中右准线x=7.|FPn|=|FP1|+(n-1)d. d=|x1-xn|2, |d|. 已知n21, |d|, 但d0.d-，0)(0，.点评：本题有两处陷沟，一是d0, 二是可以d0, 解题时考生切勿疏忽.第11计 耗子开门 就地打洞计名释义说唐中有这样一个故事.唐太宗征北，困在木阳城，绝粮.军师献计，沿着鼠洞挖去，可能找到粮食.结果，真的在地下深处发现了
7、粮仓.太宗嘉奖耗子的牙啃立功，并题诗曰：鼠郎个小本能高，日夜磨牙得宝刀，唯恐孤王难遇见，宫门凿出九条槽.庞大的数学宝库也是众多的“数学耗子”啃穿的.你可知道，前1万个质数就是这些耗子们一个个啃出来的，七位数字对数表也是这样啃出来的.数学解题，当你无计可施，或者一口难吞时，那就决定“啃”吧.典例示范【例1】 已知f (x)=，判定其单调区间.【分析】 用求导法研究单调性当然可行，但未必简便，直接从单调定义出发，循序渐进，也可将“单调区间”啃出来.【解答】 设x10.故有原式=0.故f (x)= 的增区间为（-,+).【点评】 耗子开门是一个“以小克大，以弱克强”的策略.函数的单调法即不等式的比较
8、法.方法基础，可靠，只要有“啃”的精神，则可以透过形式上的繁杂看到思维上的清晰和简捷.【例2】 （04天津卷）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.设随机变量表示所选3人中女生的人数.（）求的分布列； （）求的数学期望；（）求“所选3人中女生人数1”的概率.【思考】 本题设问简单，方向明确，无须反推倒算，只要像耗子开门，牙啃立功就是了.【解答】 （）6人中任选3人，其中女生可以是0个，1个或2个，P（=0）=;P(=1)=；P (=2)=，故的分布列是：012P（）的数学期望是：E=0+1+2=1.()由（），所选3人中女生人数1的概率是：P（1）=P (=0)+P(=1)=.【例3】
9、（04上海，20文）如图，直线y=x与抛物线y=x2 - 4交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与直线y= -5交于点Q.(1)求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于AB下方（含点A、B）的动点时，求OPQ的面积的最大值.【思考】 同例1一样，本题设问明确， 例3题图思路并不复杂，只须按所设条件逐一完成就是，只是要严防计算失误.【解答】 （1）由设AB中点为M（x0，y0），则x0 =，y0=x0=1.故有M（2，1），又ABMQ，MQ的方程是：y-1=-2(x-2)，令y=-5，得x=5，点Q的坐标为(5,-5).(2)由（1）知|OQ|=5为定值.设P(x，x2-2)为抛物线上上一点，由（
10、1）知x2-4x-320，得x-4,8，又直线OQ的方程为：x+y=0，点P到直线OQ的距离：d=，显然d0，(否则POQ不存在)，即x4-4，为使POQ面积最大只须d最大，当x=8时，dmax =6.(SPOQ)max =|OQ|dmax=56=30.【例4】 O为锐角ABC的外心，若SBOC，SCOA，SAOB成等差数列，求tanAtanC的值.【解答】 如图，有：SBOC+SAOB=2SCOA.不妨设ABC外接圆半径为1，令BOC=2A,AOC=2B，AOB=r=2C，则有：sin+sin=sin，即sin2A+sin2C=2sin2B.2sin(A+C)cos (A-C)= 4sinB
11、cosB. 例4题解图sin(A+C)=sinB0,cosB= -cos(A+C).cos (A-C)+2cos (A+C)=0,cosAcosC +sinAsinC +2(cosA+cosC sinAsinC )=0.3cosAcosC=sinAsinC，故tanAtanC=3.【点评】 本例中的“门”不少，其中“同圆半径相等”是“门”，由此将面积关系转换成有关角的关系；以下通过圆心角与圆周角的转换，和差化积与倍角公式，诱导公式、和角公式、同角三角函数关系等依次转换，这便是一连串的“门”，逐一啃来，从而最终达到解题目的.对应训练1.在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是正方形A1
12、B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1= 4CP.()求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；（）设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1HAP；（）求点P到平面ABD1的距离. 第1题图2.证明不等式： (nN+).3.设x，f (x)=，求f (x)的最大值与最小值.4.若x，y，zR+，且x+y+z=1，求函数u=的最小值.参考答案1.建立如图的空间直角坐标系，有：A(4,0,0)，P(0,4,1)，B(4,4,0)，B1(4,4,4)，D1(0,0,4).()连BP，AB平面BCC1B1.ABBP，APB是直线AP与平面BB1C1C的夹角，=t
13、anAPB=.AP与平面BB1C1C所成角为arctan.()连D1B1，则ODB1.=（4,4,0)，=（-4,4,1）,=-16+16+0=0.即，也就是. 第1题解图已知OH面AD1P，APD1O(三垂线定理)（）在DD1上取|=1，有Q(0,0,1)，作QRAD1于R，RQAB，PQ面ABD1，AB面AA1D1D，ABQR，则QR面ABD1，QR之长是Q到平面ABD1的距离，SADQ =|=|.即：4|= 43，|=.已证PQABD1，点P到平面ABP1的距离为.点评：虽是“综合法”证题，但也并非“巷子里赶猪，直来直去”，特别（）,()两问，本解都用到了若干转换手法.2.只须证右式=.成立，从而1+3.先将f (x)化为同一个角的单一三角函数，得f (x)= -sin+.当x时,2x-，故f (x)为，上的减函数,当x=时,f(x)min =，当x=时,f (x)max =-.4.注意到，同理：，u=8.第12计 小刀开门 切口启封计名释义西餐宴上，摆着漂亮的什锦比
