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1、第四章4.4A级基础过关练1用数学归纳法证明n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2(nN*)时，若记f(n)n(n1)(n2)(3n2)，则f(k1)f(k)()A3k1B3k1C8kD9k【答案】C【解析】因为f(k)k(k1)(k2)(3k2)，f(k1)(k1)(k2)(3k2)(3k1)3k(3k1)，所以f(k1)f(k)3k13k3k1k8k.2用数学归纳法证明：1n(nN*且n1)时，第一步即证下列哪个不等式成立()A12B12C12D12【答案】C3用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”的第二步是()A假使n2k1时正确，再推n2k3时正确B假使n2k1时正
2、确，再推n2k1时正确C假使nk时正确，再推nk1时正确D假使nk(k1)时正确，再推nk2时正确(以上kN*)【答案】B4(2022年山南一模)某个命题与正整数n有关，如果当nk(kN*)时命题成立，那么可推得当nk1时命题也成立现已知当n7时该命题不成立，那么可推得()A当n6时该命题不成立B当n6时该命题成立C当n8时该命题不成立D当n8时该命题成立【答案】A【解析】由题意可知，P(n)对n7不成立，P(n)对n6也不成立，否则n6时，由已知推得n7也成立，与当n7时该命题不成立矛盾5一个与正整数n有关的命题，当n2时命题成立，且由nk时命题成立可以推得nk2时命题也成立，则()A该命题
3、对于n2的自然数n都成立B该命题对于所有的正偶数都成立C该命题何时成立与k取值无关D以上答案都不对【答案】B【解析】由nk时命题成立可推出nk2时命题也成立，又因为n2时命题成立，根据逆推关系，该命题对于所有的正偶数都成立故选B6已知f(n)(2n7)3n9，存在自然数m，使得对任意nN*，f(n)都能被m整除，则m的最大值为()A18B36C48D54【答案】B【解析】因为f(1)36，f(2)108336，f(3)3601036，所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，推测m的最大值为36.可作如下简要证明：f(n1)2(n1)73n19，所以f(n1)f(n)(4n20)3n.当n
4、1时，该式的值为72，可被36整除；当n2时，4n20可被4整除，3n可被9整除，则(4n20)3n可被36整除，即证7(多选)用数学归纳法证明对任意nk(n，kN*)都成立，则以下满足条件的k的值为()A1B2C3D4【答案】CD【解析】取n1，则，不成立；取n2，则，不成立；取n3，则，成立；取n4，则，成立；下证：当n3时，成立当n3，则，成立；设当nk(k3)时，有成立，则当nk1时，有，令t，则3.因为t，故3.因为0，所以，所以当nk1时，不等式也成立，由数学归纳法可知，对任意的n3都成立故选CD8已知f(n)1(nN*)，计算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(3
5、2)，由此推测，当n2时，有_【答案】f(2n)9用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2nn3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是_【答案】10【解析】2101 024103，2951293，n0最小应为10.10已知11，134，1359，135716，.(1)猜想135(2n1)的值；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想(1)解：猜想135(2n1)n2.(2)证明：当n1时，左边1，右边121，左边右边假设nk时等式成立，即135(2k1)k2，则当nk1时，等式左边135(2k1)(2k1)k2(2k1)(k1)2.综上，可知135(2n1)n2对于任意的正整
6、数成立B级能力提升练11用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除”，要利用归纳假设证nk1时的情况，只需展开()A(k3)3B(k2)3C(k1)3D(k1)3(k2)3【答案】A【解析】当nk时，k3(k1)3(k2)3能被9整除；当nk1时，左边式子为(k1)3(k2)3(k3)3(kN*)，显然只需展开(k3)3.12(多选)用数学归纳法证明不等式的过程中，下列说法正确的是()A使不等式成立的第一个自然数n01B使不等式成立的第一个自然数n02Cnk推导nk1时，不等式的左边增加的式子是Dnk推导nk1时，不等式的左边增加的式子是【答案】BC【解析】由于nN*，当n
7、1时，左边，当n2时，左边成立，故使不等式成立的第一个自然数n02；当nk时，左边为，当nk1时，左边为，故左边增加的式子是.故选BC13对任意nN*，34n2a2n1都能被14整除，则最小的自然数a_【答案】5【解析】当n1时，36a3能被14整除的数为a3或5；当a3且n2时，31035不能被14整除，故a5.14已知数列an满足an0，前n项和为Sn，若a33，且对任意的kN*，均有a2a2k11，a2k12log2a2k1，则a1_，S20_【答案】12146【解析】因为an0，nN*，由已知a332log2a21，a22，2a11a4，a11，a2a312416，a44，a52log
8、2a415，a2a5126，a68，归纳结论a2n12n1，a2n2n.证明：(1)n1，由上面已知成立；假设nk时，假设成立，即a2k12k1，a2k2k，则a2k12log2a2k12log22k12k1，a2a2k1122k2，a2k22k1，由数学归纳法知a2n12n1，a2n2n，对一切nN*成立S20(1319)(222210)1022146.15各项都为正数的数列an满足a11，aa2.(1)求数列an的通项公式；(2)求证：对一切nN*恒成立(1)解：aa2，a121，数列a是首项为1，公差为2的等差数列，a1(n1)22n1.又an0，an.(2)证明：由(1)知，只需证1.当n1时，左边1，右边1，不等式成立；当n2时，左边右边，不等式成立假设当nk(k2，kN*)时不等式成立，即1.当nk1时，左边1，当nk1时不等式成立由知对一切nN*不等式恒成立1
