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1、 一 观察法例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：19，99，999，9999，234解：1变形为：1011，1021，1031，1041，通项公式为： 23 4.点评：关键是找出各项与项数n的关系。 二、公式法：当条件中有a和s的递推关系时，往往利用公式：a来求数列的通项公式。例1： 数列an是公差为d的等差数列，数列bn是公比为q的(qR且q1)的等比数列，假设函数f (x) = (x1)2，且a1 = f (d1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q1)，(1)求数列 a n 和 b n 的通项公式；解：(1)a 1=f (d1) = (d2)
2、2，a 3 = f (d+1)= d 2，a3a1=d2(d2)2=2d，d=2，an=a1+(n1)d = 2(n1)；又b1= f (q+1)= q2，b3 =f (q1)=(q2)2，=q2，由qR，且q1，得q=2，bn=bqn1=4(2)n1例2. 等差数列是递减数列，且=48，=12，那么数列的通项公式是 (A) (B) (C) (D)解析：设等差数列的公差位d，由，解得，又是递减数列， ，应选(D)。例3. 等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列的通项公式。解析：由题意，又是等比数列，公比为，故数列是等比数列，点评：当数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公
3、式，只需求得首项与公差公比。例4: 无穷数列的前项和为，并且，求的通项公式？【解析】：，又，.反思：利用相关数列与的关系：,与提设条件，建立递推关系，是此题求解的关键.跟踪训练1.数列的前项和，满足关系.试证数列是等比数列.例5：数列前n项的和为sa3，求这个数列的通项公式。分析：用a替换s-s(n2)得到数列项与项的递推关系来求。解： a=a-3, a=6 sa3 nN sa3 (n2且nN) 得：aaa aa，即3(n2且nN)数列是以a=6，公比q为3的等比数列.aaq6323。例6：正项数列中，sa+，求数列的通项公式.分析：用s-s(n2)替换a得到数列与的递推关系来求较易。解 sa
4、+，a=( a+) a=1又a ss (n2且nN) sss2sssss ss1 (n2且nN)数列是以a=1为首项，公差为1的等差数列。 s1n11n，即s，当n2时，ssa将n1代入上式得a练习：数列前n项和为，53,求三.累加法：求形如=f(n)的递推数列的通项公式的根本方法。其中f(n)能求前n 项和即可利用求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如的递推数列通项公式的根本方法可求前项和.例1.数列中，,求这个数列的通项公式。分析：由，得，注意到数列的递推公式的形式与等差数列的递推公式类似，因而，可累加法求数列的通项。解：数列中，可得：以上各式相加， 将n1代入上式得练习：数列中，求例
5、2：数列6，9，14，21，30，求此数列的一个通项。解 易知各式相加得点评：一般地，对于型如类的通项公式，只要能进展求和，那么宜采用此方法求解。例3. 假设在数列中，求通项。解析：由得，所以，将以上各式相加得：，又所以 =例4无穷数列的的通项公式是，假设数列满足，求数列的通项公式.【解析】：,=1+=.反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为.跟踪训练3.,求数列通项公式.3.累乘法：求形如=的递推数列通项公式的根本方法。其中可求前n项积即可。利用恒等式求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 的递推数列通项公式的根本方法(数列可求前项积).例1.假设满足求这个数列的通项公式。分
6、析：由知数列不是等比数列，但其递推公式的形式与等比数列递推公式类似，因而，可累加法求数列的通项。解： 以上各式相乘得：将n1代入上式得变式练习：设是首项为1的正数组成的数列，且，那么它的通项公式为例2：在数列中，=1, (n+1)=n，求的表达式。解：由(n+1)=n得，=所以例3 数列中，前项和与的关系是 ，试求通项公式。解析：首先由易求的递推公式：将上面n1个等式相乘得：点评：一般地，对于型如=(n)类的通项公式，当的值可以求得时，宜采用此方法。例四 ,求数列通项公式.【解析】：,又有=1=,当时，满足，.反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为.跟踪训练4.数列满足,.那么的通
7、项公式是.4.构造新数列：通过变换递推关系，可将非等差数列或等比数列转化为等差或等比数列而求得通项公式的方法。(待定系数法)例题5：数列中满足，,求数列的通项公式。分析：将一阶线性递推关系形如可转化为的一个新的等比数列或消常数项转化为的一个等比数列。解法1：数列中，n数列是以首项，公比为2的等比数列解法2：数列中，得又 数列是以首项公比为2的等比数列，再利用累加法可求数列的通项公式，以下解法略可求得倒数法例题6:数列中满足，求数列的通项.分析：可将形如一阶分式递推公式,(A、B、C为满足条件的常数)，等式两边取倒数得：,又可利用求形如(A、B为常数)的方法来求数列的通项。 解：数列 中， ，即
8、数列是以公差为3的等差数列. 变式练习：知数列中满足，求数列的通项.例题7：数列中满足，,求数列的通项公式。分析：形如递推公式可转化为，假设令，那么转化为形如的方法来求数列的通项。(提示：将转化为，解法略。) 另外，数列通项求法还有数学归纳猜测法，可以先求出数列的前n项，然后观察前n项的规律，再进展归纳、猜测出通项，最后予以证明，例如：数列满足a1=4，=4n2，求理科要求，解略；还有对数变换法，例如：形如可转化为问题解决；当然还有特征方程法等等。六、待定系数法： 例10：设数列的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，假设c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式cn解：设例1
9、1.数列中，其中b是与n无关的常数，且。求出用n和b表示的an的关系式。解析：递推公式一定可表示为的形式。由待定系数法知： 故数列是首项为，公比为的等比数列，故点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，假设数列为等差数列：那么，b、为常数，假设数列为等比数列，那么，。七、辅助数列法例12：数的递推关系为，且求通项。解：令那么辅助数列是公比为2的等比数列即例13：在数列中，求。解析：在两边减去，得是以为首项，以为公比的等比数列，由累加法得= = 例14： 数列中且，求数列的通项公式。解：， 设，那么故是以为首项，1为公差的等差数列 点评：这种方法类似于换元法,
10、 主要用于递推关系式求通项公式。五 构造新数列: 类型1 解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例1:数列满足，求。解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即 所以，类型2 解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例2:数列满足，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，例3:，求。解：。变式:2004，全国I,数列an，满足a1=1， (n2)，那么an的通项解：由，得，用此式减去式，得当时，即，又，将以上n个式子相乘，得类型3 其中p，q均为常数，。解法待定系数法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例4:数列中
11、，求.解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，那么,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，那么,所以.变式:2006，,文,14在数列中，假设，那么该数列的通项_key:类型4 其中p，q均为常数，。 或,其中p，q, r均为常数 。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列其中，得：再待定系数法解决。例5:数列中，,，求。解：在两边乘以得：令，那么,解之得：所以类型5 递推公式为其中p，q均为常数。解 (特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。假设是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定即把和，代入，得到关于A、B的方程组；当时，数列的通项为，其中A，B由决定即把和，代入，得到关于A、B的方程组。例6: 数列：， ,求解特征根法：的特征方程是：。,。又由，于是 故练习:数列中，,，求。变式:2006，,文,22数列满足求数列的通项公式；I解： 类型6 递推公式为与的关系式。(或)解法：利用与消去或与消去进展求解。例7：数列前n项和.1求与的关系；2求通项公式.解：1由得：于是所以.2应用类型4其中p，q均为常数，的方法，上式两边同乘以得：由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以归纳法： /
