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1、题目： 行列式的计算目录摘要 2引言 3一、行列式的定义和性质 31、行列式的定义 32、行列式的性质 5二、行列式计算的若干方法 81、化三角形法 8 2、降阶法（按行（列）展开法） 14 3、升阶法（加边法） 18 4、拆分法 19 5、泰勒公式法 21 6、利用范德蒙行列式 23 7、导数法 24 8、积分求行列式 25 9、行列式乘积法 27 10、递推法 29 11、数学归纳法 32 12、循环矩阵的行列式的计算方法 35 13、利用矩阵行列式公式 39 14、利用方阵特征值与行列式的关系 40结束语 42参考文献 43行列式的计算摘要：行列式是高等数学的一个基本的概念。求解行列式是
2、在高等代数的学习中遇到的基本问题，每一种复杂的高阶行列式都有其独特的求解方法。本文主要介绍了求行列式值的一些常用方法和一些特殊的行列式求值方法。如：化三角形法、降阶法、升阶法、泰勒公式法、范德蒙行列式等十多种方法。并对相应例题进行了分析和归纳，总结了与每种方法相适应的行列式的特征。关键词：行列式，定义，计算方法。The Calculation of DeterminantXu Yuanjiao（Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China）Abstract: The determinant is
3、 a basic concept of higher mathematics. The solution of determinant is the basic question, and each kind of complex higher order determinant has its special solution method. This paper mainly introduces the methods for calculation of determinant. For example, the triangle method, rise-lower method,
4、analyzes the law, Taylor formula, Vandermonde determinant, and so on. The paper also analyzes the corresponding examples, and summarizes the characteristic of determinants corresponding to each method.Key words: Determinant, Definition, Calculation.引 言行列式是高等代数中的重点部分，讲到行列式,我们通常会联想到用克兰姆法则求解线性方程组.但是行列式
5、的作用不仅仅只用于求解线性方程组.在解析几何中,用行列式方法可以判别三点共线和三向量共面、计算平行六面体的体积等等.它不仅是研究线性方程组基本工具，也是讨论向量矩阵和二次型的重要工具之一。而且在科技领域中得到广泛的应用。因此行列式有着重要的作用，当然行列式的解法也有着不可替代的作用。本文将归纳和总结各种行列式的计算方法与技巧，通过进行讨论这些方法和技巧也将深刻理解数学中的相关知识。这些方法与技巧也许不能包含所有解法，随着知识的发展我们相信还会有更好的，更新的方法来解决行列式的计算问题。一、 行列式的定义和性质 1、行列式的定义行列式的定义为： 。也就是说级行列式等于所有取自不同行不同列的几个元
6、素的乘积的代数和。这里是1,2的一个排列，当是偶排列时，式取正号，当是奇排列时式取负号。定义法是计算行列式的根本方法，对任何行列式都适用。例1：计算分析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少。具体的说，展开式中的项的一般形式是。显然，如果，那么，从而这个项就等于零。因此只须考虑的项，同理只须考虑的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有，而，所以此项取正号。故解： 例2：计算行列式。解： 。例3：计算分析：展开式中的项的一般形式是，在行列式第行中的元素除去的外全为零。因而，只要考虑的那些项。在第行中，除去外。其余的项全为零。因而只有和这两种可
7、能，由于，所以只能取，这样逐步推上去，不难看出，在展开式中除去一项外，其余的项全是零，而这一项的列指标所成的排列为偶排列，故解：由上面的例子我们看到当行列式中含有很多的零元素时，用定义法可以减少相加的项而使计算变得简单。我们知道阶行列式是由项组成的，当行列式中元素只有几个为零或全都不是零，且时，用定义法计算行列式是相当复杂的。所以我们要掌握一些特殊的求高阶行列式的方法。2、行列式的性质性质1：行列式行列互换，行列式的值不变，即行列式与它的转置行列式的值相等。设行列式若行列式中则称反对称行列式。利用反对称行列式的性质及性质1也可以解一些特殊的行列式。例4：计算分析：这是一个5级反对称行列式，将其
8、每一行都乘以（1）则可得到它的转置行列式，故解：我们可以证明，对于任何的奇数级反对称行列式均有，但要强调指出，这个性质只适用于奇数级反对称行列式，而对于偶数级反对称行列式一般没有这个结论。行列式性质4：如果行列式中有两行（列）相同，那么行列式为零。行列式性质5：如果行列式中两行（列）成比例，那么行列式为零。由这两条性质，在行列式的求解过程中，若能判断行列式符合上面的性质，则不论多么复杂的行列式，我们都可以直接判断它为零，而不需要化成别的简单的形式进行计算。例5：计算分析：这个行列式看起来比较复杂，但稍加分析便会发现，行列式的后三列元素展开后对应的成二阶等差数列，故做两次减法后便会出现相同的项。
9、解：从第四列起，第列减前一列，得新行列式后，后三列再依次做差。例6：计算阶行列式解:将第一行的（-1）倍加到第2，3，行，得当3时，由于上式右端的行列式中至少有两行成比例，故=0.当=1时，；当=2时，例 7：计算行列式解：设，则所以有因子。又由于行列式的定义知应为4次多项式，即。令代入上式两端，可算出，故注：中的待定常数可确定如下：中含有的项为与，所以的系数为-3，左右两边比较系数得。二、行列式计算的若干方法1、化三角形法由定义法的例子我们看出，如果行列式可以化成上（下）三角形，那么它的值的绝对值就是主（次）对角线上元素的乘积，值的符号由列指标的奇偶性来判断。从而，我们得出求高阶行列式的一种
10、常用的方法化三角形法。能化为三角形的行列式主要有以下几种：（1）比例相加法。行列式对角线以下（上）的元素与行列式中某一行（列）的对应元素成比例。这样的行列式，只要把行列式的某一行（列）乘的适当倍数加到其它行（列），即可化为三角形。例8：计算分析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的（1）倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零。解：将的第一行的（1）倍分别加到第2,3（）行上去，可得（2）提公因式法（）。行列式各行（列）元素的和都相同，这一类行列式的计算方法是把每一行（列）加到第一行（列）上，然后提取公因数，便可转化为（1）的形式或直接化为三角形的形式
11、。例9：计算分析：这是一个四级行列式，用定义法我们知道它的值是4！个项的和，能准确的找出24项也是一件麻烦的事情，观察行列式我们会发现它每行（列）的和都是111710，因此经过变换提公因数后会出现全为1的一行（列），在化三角形法中，我们最愿意看到的就是一行（列）1，故解：把所有列都加到第一列，提公因数，得由此可见，用提公因数的方法计算某些行列式，可以减少计算量，降低出现错误的可能性。我们再来看一个高阶行列式的例子。例10：计算：分析：观察行列式的特点，行列式每行的和都为，故可提出公因数使第一列全变为1，则便形成（1）的形式，同样可以化为三角形。解：把各列都加到第一列，提出公因数，得再将第一列的
12、倍分别加到第列，得（3）提公因式法（）。有些行列式，虽然各行（列）元素的和不相同，但第行（列）乘以适当的倍数加到第一行（列）后，也可以提出公因数或直接化为三角形。例11：计算分析：这是一个三阶行列式用前面介绍的定义法便可求出结果，即虽然是三阶行列式，但计算量也是相当大的，仔细观察行列式会发现，行列式三行的和都是1000的倍数，且后两列的元素分别相差100，因此可以进行变换，然后提出公因数，使计算简便。解：把第二、三列都加到第一列上，并用第二列减去第三列，则得D= =例12：计算阶行列式（空白处全为0）分析：这个行列式中含有很多的零，但零的个数没有多到可以直接用定义法简化所有的项的和，但观察行列
13、式会发现除第一行和第一列外，其余各行各列都只含有两个元素，且在对角线下方，只有第一列元素不为零，故只要能把第一列中变为零就可化为三角形。解：当将的第列乘以加到第一列，则得当某一个时，比如，则把按第列展开，可得（4）逐行（或列）相加（减）法。有的行列式的行（列）乘的适当的倍数，逐行（列）相加（减）后，可化为前面的几种形式，进而化为三角形或直接化为三角形。例13：计算分析：乍看行列式和前面的提公因式法的例题相似，但细看便会发现它们的不同，这个行列式前行的和虽然都相同，但却是零，用提公因式法就没有作用了，同时我们也可以看出，对角线上方的元素要全部化为零是比较容易实现的，故此题我们用逐列相加的方法。解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得例14：计算分析：观察行列式的特点，主对角线上方的元素按列（行）成等差数列，而主对角
