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1、课时素养评价 十二正 弦 定 理(25分钟50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2019合肥高一检测)ABC内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若A=，a=3，b=2，则sin B=()A.B.C.D.【解析】选D.因为A=，a=3，b=2，所以根据正弦定理可得sin B=.2.在ABC中，已知BC=，sin C=2sin A，则AB=()A.B.2C.D.2【解析】选D.由正弦定理，得AB=BC=2BC=2.3.在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若tan Atan B=ab，则ABC的形状一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形【解
2、析】选A.因为tan Atan B=ab，所以btan A=atan B，所以=，因为0A，0Ba知BA.所以B=60或120.(1)当B=60时，C=180-A-B=180-30-60=90.在RtABC中，C=90，a=2，b=6，c=4，所以ac=24=24.(2)当B=120时，C=180-A-B=180-30-120=30，所以A=C，则有a=c=2.所以ac=22=12.8.(14分)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m=(a，b)与n=(cos A，sin B)平行.(1)求A.(2)若a=，b=2，求sin C.【解析】(1)因为mn，所以asin B-bco
3、s A=0.由正弦定理，得sin Asin B-sin Bcos A=0，又因为sin B0，从而tan A=.由于0Ab，知AB，所以cos B=.故sin C=sin(A+B)=sin(B+)=sin Bcos +cos Bsin=.(15分钟30分)1.(4分)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c=a，B=30，那么角C等于()A.120B.105C.90D.75【解析】选A.因为c=a，所以sin C=sin A=sin(180-30-C)=sin(30+C)=，即sin C=-cos C.所以tan C=-.又0C180，所以C=120.2.(4分)(2019通化
4、高一检测)在ABC中，已知sin2A+sin2B-sin Asin B=sin2C，且满足ab=4，则该三角形的面积为()A.1B.2C.D.【解析】选D.因为sin2A+sin2B-sin Asin B=sin2C，根据正弦定理得a2+b2-ab=c2，由余弦定理得2abcos C=ab，所以cos C=，所以sin C=，所以S=absin C=4=.3.(4分)ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足acos B-bcos A=c，则ABC的形状为_.【解析】根据正弦定理，得a=2Rsin A，b=2Rsin B，C=2Rsin C(其中R是ABC外接圆的半径)，代入acos
5、B-bcos A=c得2Rsin Acos B-2Rsin Bcos A=2Rsin C，所以sin Acos B-sin Bcos A=sin (A+B)，所以sin Acos B-sin Bcos A=sin Acos B+sin Bcos A，所以2sin Bcos A=0，又因为sin B0，所以cos A=0，又A(0，)，所以A=，所以该三角形为直角三角形.答案：直角三角形【加练固】在ABC中，若3b=2asin B，cos A=cos C，则ABC的形状为_.【解析】由正弦定理知b=2Rsin B，a=2Rsin A，则3b=2asin B可化为：3sin B=2sin Asin
6、 B.因为0B180，所以sin B0，所以sin A=，所以A=60或120，又cos A=cos C，所以A=C，所以A=60，所以ABC为等边三角形.答案：等边三角形4.(4分)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=，b=，1+2cos(B+C)=0，则边BC上的高为_.【解析】由1+2cos(B+C)=0和B+C=-A，得1-2cos A=0，所以cos A=，sin A=.再由正弦定理，得sin B=.由ba知BA，所以B不是最大角，B，从而cos B=.由上述结果知sin C=sin(A+B)=.设边BC上的高为h，则有h=bsin C=.答案：5.(14分)在
7、ABC中，求证：(1)=.(2)=.【证明】(1)由余弦定理，a2=b2+c2-2bccos A，于是=1-2cos A=1-2cos A=.(2)方法一：=.方法二：=.【加练固】在ABC中，已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab，且2cos Asin B=sin C，确定ABC的形状.【解析】由正弦定理得=，由2cos Asin B=sin C，有cos A=.又由余弦定理得cos A=，所以=，即c2=b2+c2-a2，所以a2=b2，所以a=b.又因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab，所以(a+b)2-c2=3ab，所以4b2-c2=3b2，即b2=c2.所以b=c，所以a=b=
8、c.所以ABC为等边三角形.1.在锐角三角形ABC中，a，b，c所对的角分别为A，B，C，A=2B，则的取值范围是_.【解析】在锐角三角形ABC中，A，B，C90，即所以30B45.由正弦定理知：=2cos B(，)，故的取值范围是(，).答案：(，)2.已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，+=.(1)求角A的大小.(2)若a=2，ABC的面积为，求边b，c.【解析】(1)由+=及正弦定理得+=，整理得，sin Acos B+cos Asin B=2sin Ccos A，即 sin(A+B)=2sin Ccos A.因为sin(A+B)=sin(-C)=sin C，且sin C0，所以，cos A=.又0A，所以，A=.(2)因为ABC的面积S=bcsin A=bcsin=，所以，bc=4.由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccos A，22=b2+c2-2bccos所以，b2+c2 =8，联立解得，b=c=2.
