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1、一元二次方程内容简介：1. 了解一元二次方程的定义及一元二次方程的一般形式：.2. 掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活运用.3. 掌握一元二次方程根的判别式，并能运用它解相应问题.4. 掌握一元二次方程根与系数的关系，会用它们解决有关问题.5. 会解一元二次方程应用题.知识点一：一元二次方程的定义及一般形式【知识要点】 一元二次方程的一般形式：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A B C D 变式：当k 时，关于x的方程是一元二次方程。例2、方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 。针对练习：1、方程的一次项系数是 ，常数项是 。2、若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范
2、围是 。知识点二：一元二次方程的解【知识要点】 1、 当已知一元二次方程的一个根时，要熟练地将这个根代入原方程，并灵活运用得到的等式。2、 在中，x取特殊值时，a、b、c之间满足的关系式。例1、已知的值为2，则的值为 。例2、关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为 。例3、一元二次方程的系数满足，则此方程必有一根为 。例4、已知是方程的两个根，是方程的两个根，则m的值为 。针对练习：1、已知方程的一根是2，则k为 ，另一根是 。2、已知m是方程的一个根，则代数式 。3、已知是的根，则 。4、方程的一个根为（ ）A B 1 C D 5、若 。知识点三：一元二次方程的解法【知识要点】 一元二
3、次方程的常用解法有（1）直接开平方法，（2）配方法，（3）求根公式法，（4）因式分解法。通常可以这样选择合适的解法：（1）当方程一边为含有未知数的完全平方式，另一边为非负数时，可用直接开平方法。（2）当方程的一边为0，而另一边可以分解为两个一次因式的乘积的形式时，运用因式分解法求解。（3）当方程的一边较易配成含未知数的完全平方式，另一边为非负数时，常用配方法。（4）当不便用上面三种方法时，就用求根公式法。例1、解方程： 例2、若，则x的值为 。例3、的根为（ ）A B C D 例4、若，则4x+y的值为 。变式1： 。变式2：若，则x+y的值为 。变式3：若，则x+y的值为 。例5、方程的解为
4、（ ）A. B. C. D.针对练习：1、若实数x、y满足，则x+y的值为（ ）A、-1或-2 B、-1或2 C、1或-2 D、1或22、方程：的解是 。 3解方程：知识点四：配方法运用【知识要点】 用配方法解一元二次方程的一般步骤：例：用配方法解第一步，将二次项系数化为：，（两边同除以）第二步，移项： 第三步，两边同加一次项系数的一半的平方：第四步，完全平方：第五步，直接开平方：，即:,例1、试用配方法说明的值恒大于0，的值恒小于0。例2、已知x、y为实数，求代数式的最小值。例3、已知为实数，求的值。变式：已知，则 .知识点五：降次思想的应用【知识要点】 利用因式分解或整式的变形，巧妙地在运
5、算中进行变形，从而达到降次的目的。例1、已知，求代数式的值。例2、如果，那么代数式的值。例3、已知是一元二次方程的一根，求的值。知识点六：根的判别式理解与应用【知识要点】 (1)一元二次方程根的情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根.(2)判定一元二次方程根的情况；(3)确定字母的值或取值范围。例1、若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。例2、关于x的方程有实数根，则m的取值范围是( )A. B. C. D.例3、已知关于x的方程(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根
6、，求ABC的周长。例4、已知二次三项式是一个完全平方式，试求的值.针对练习：1、当k 时，关于x的二次三项式是完全平方式。2、当取何值时，二次三项式是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？3、已知方程有两个不相等的实数根，则m的值是 .4、若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是( ) A. B. 且 C. D. 且5、 一元二次方程的根的情况为（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根D. 没有实数根6、已知关于的一元二次方程.请你为选取一个合适的整数，当_时，得到的方程有两个不相等的实数根；7、若关于的方程有两个相等的实数根，求的取值范围。8、已知关于的方程
7、，当为何非负整数时：(1)方程只有一个实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程有两个不等的实数根.9、已知是三角形的三条边，求证：关于的方程没有实数根.10、已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D.11、一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_. 12、求证：关于的方程有两个不相等的实数根。知识点七：根与系数的关系（韦达定理）【知识要点】 韦达定理:如一元二次方程的两根为，则，适用题型：(1)已知一根求另一根及未知系数； (2)求与方程的根有关的代数式的值； (3)已知两根求作方程； (4)已知两数的和与积，求这两个数； (
8、5)确定根的符号:(是方程两根)； （6）题目给出两根之间的关系，如两根互为相反数、互为倒数、两根的平方和或平方差是多少、两根是的两直角边求斜边等情况.注意：（1） （2）； （3）方程有两正根，则； 方程有两负根，则 ；方程有一正一负两根，则；（4）应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时，一般把所求作得方程的二次项系数设为，即以为根的一元二次方程为;求字母系数的值时，需使二次项系数，同时满足;求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和，两根之积的代数式的形式，整体代入。针对练习：1、已知方程的两根是，则： ，= ， 2、已
9、知方程的一个根是1，则另一个根是 ，的值是 .3、若关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根互为相反数，则p=_，若两根互为倒数，则q=_4、已知一元二次方程 2 x2 + b x + c = 0的两个根是 1 、3 ，则 b= ，,c= .5、若方程中有一个根为零，另一个根非零，则的值为 ( )（A） （B） （C） （D） 6、两根均为负数的一元二次方程是()A.4x2+21x+5=0 B.6x2-13x-5=0C.7x2-12x+5=0D.2x2+15x-8=07、已知方程，则下列说中，正确的是 （ ）（A）方程两根和是1 （B）方程两根积是2（C）方程两根和是 （D）方程两根积是两
10、根和的2倍 8、已知方程的两个根都是整数，则的值可以是（ ）（A） 1 （B） 1 （C） 5 （D） 以上三个中的任何一个9、已知一元二次方程的两根之和是3，两根之积是，则这个方程是（ ）（A）（B）（C）（D）10、 如果方程与方程有一个公共根是3，求,的值，并求方程的另一个根.11、已知关于x的方程 ( a2 3 ) x2 ( a + 1 ) x + 1 = 0的两个实数根互为倒数，求a的值.12、在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与3；小王看错了q，解得方程的根为4与2。这个方程的根应该是什么?知识点八：一元二次方程应用题【传播问题】 例1：有一人患了流感，经
11、过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？【分析】：设平均一个人传染了x个人。最开始有一人患流感，第一轮传染时，传染源是 人，新感染了 人，共有 人感冒。第二轮传染时，传染源是 人，新感染了 人，共有 人感冒。你发现题目的等量关系了吗？请试着列出方程并求解。（教师注意点评）如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感？例2：某种树木的主干长出若干支杆，每个支杆又长出同样数目的小分支，主干、支杆和小分支的总数为91，每个支杆长出多少小分支？巩固练习：1、生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，那么根据题
12、意列出的方程是（ ） Ax（x+1）=182 Bx（x-1）=182 C2x（x+1）=182 Dx（1-x）=18222、一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（ ） A12人 B18人 C9人 D10人3、学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间都进行了一次比赛），共进行了15场比赛，那么有几个球队参加了这次比赛？ 4、一个多边形有35条对角线，求这个多边形的边数。5、一个两位数等于它的个位数的平方，且十位数字比个位数字小3，求这个两位数。6、三个连续奇数，其中最小的数的平方的3倍减去25等于较大两个数的平方和，试求这三个数。7、一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新数与原数的乘积为736，求原来的两位数。8、若直角三角形的三边长为连续偶数，求这个直角三角形的面积。【变化率问题】 例：两年前生产1吨甲种药品的成
