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1、2019-2020年高三第二次教学质量检测（数学）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1已知集合，若，则实数的取值范围是 。解析：可知道，又所以实数a的取值范围是11. 已知 ，其中，为虚数单位，则 。 解析：将等式两边都乘，得到，两边比较得结果为412. 某单位从4名应聘者A、B、C、D中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则A，B两人中至少有1人被录用的概率是 。 解析：从题目来看，所有的可能性共有6种，但A，B都没被录取的情况只有一种，即满足条件的有5种，所以结果为4、某日用品按行业质量标准分成王五个等级，等级系数依次为1，2，3，4，5.现从一批该日用品中随机抽取
2、200件，对其等级系数进行统计分析，得到频率的分布如下 12345a0.20.450.150.1 则在所抽取的200件日用品中，等级系数的件数为 。解析：由所有频率之和为1，可知道a =0.1，由频率公式可知道所求件数为20。5、 已知变量满足约束条件，则目标函数的取值范围是 解析：画出可行域，可以知道目标函数的取值范围是4，2 6、 已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率 解析：焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是，与题是所给比较得，所以结果为7、 已知圆的经过直线与坐标轴的两个交点，又经过抛物线的焦点，则圆的方程为 。解析：先求直线得与坐标轴的交点为，抛物线的焦点为，可把圆C的方程
3、设为一般形式，把点坐标代入求得x2y2xy20 法2。可以利用圆心在弦的垂直平分线上的特点，先求出圆心。并求出半径，再求。8、 设是等差数列的前项和。若，则 。 解析：由可得，从而，故结果为9、已知函数的部分图象如图所示，则的值为 。解析：由图像可知A=2，=310、在如图所示的流程图中，若输入的值为，则输出A的值为 。解析：经计算A值是以为循环的，注意，当i =11时仍循环，12的时候出来，所以有12个A值，结果为 11、 一块边长为10的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器。当时，该容器的容积
4、为 。 解析：由题意可知道，这个正四棱锥形容器的底面是以6为边长的正方形，侧高为5，高为4，所以所求容积为4812、下列四个命题 “”的否定；“若则”的否命题；在中，“”的充分不必要条件；“函数为奇函数”的充要条件是“”。其中真命题的序号是 。（把真命题的序号都填上）解析：“”的否定；即，是真命题；“若则”的否命题；即，也是真倒是，其余两个是假命题很显然APBFEC13、在面积为的中，分别是的中点，点在直线上，则 的最小值是 。解析：如图所示，没由，得，即再用余弦定理得，所以=，令，求导以后可以知道当时，有最小值2 14、已知关于的方程有唯一解，则实数的值为 。解析：先将方程化为，由题意知有唯
5、一解，即为“=”两边的函数图像只有一个交点。画图可知道当时，图像只有一个交点。解得a =1二、解答题 15（本小题满分14分）设向量a(2，sin)，b(1，cos)，为锐角（1）若ab，求sincos的值；（2）若ab，求sin(2)的值解：（1） 因为ab2sincos，所以sincos 2分所以 (sincos)212 sincos又因为为锐角，所以sincos 5分（2） 解法一 因为ab，所以tan2 7分所以 sin22 sincos，cos2cos2sin2 11分所以sin(2)sin2cos2( ) 14分解法二 因为ab，所以tan2 7分所以 sin，cos因此 sin2
6、2 sincos， cos2cos2sin2 11分所以sin(2)sin2cos2( ) 14分16（本小题满分14分）如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD平面BCE，BEECABCDEF(第16题图）（1）求证：平面AEC平面ABE；（2）点F在BE上若DE/平面ACF，求的值解：（1）证明：因为ABCD为矩形，所以ABBC因为平面ABCD平面BCE，ABCDEF(第16题图）O平面ABCD平面BCEBC，AB平面ABCD，所以AB平面BCE 3分因为CE平面BCE，所以CEAB因为CEBE，AB平面ABE，BE平面ABE，ABBEB，所以CE平面ABE 6分因为CE平面AEC，所以平
7、面AEC平面ABE 8分（2）连结BD交AC于点O，连结OF因为DE平面ACF，DE平面BDE，平面ACF平面BDEOF，所以DE/OF 12分又因为矩形ABCD中，O为BD中点，所以F为BE中点，即 14分17（本小题满分14分）xyOTMPQN(第17题图）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线xy20相切（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P(0，1)，Q(0，2)设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上解：（1）由题意知b 3分因为离心率e，所以 所以a2 所以椭圆C的
8、方程为1 6分（2）证明：由题意可设M，N的坐标分别为(x0，y0)，(x0，y0)，则直线PM的方程为yx1， 直线QN的方程为yx2 8分证法一 联立解得x，y，即T(，) 11分由1可得x0284y02因为()2()21，所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上 14分证法二 设T(x，y)联立解得x0，y0 11分因为1，所以()2()21整理得(2y3)2，所以12y84y212y9，即1所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上 14分18（本小题满分16分）(第18题图）CABDl某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示为
9、充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA，AD用一根9米长的材料弯折而成，要求A和C互补，且ABBC（1）设ABx米，cosAf(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范围；（2）求四边形ABCD面积的最大值解：（1）在ABD中，由余弦定理得BD2AB2+AD22ABADcosA 同理，在CBD中，BD2CB2+CD22CBCDcosC 3分因为A和C互补，所以AB2+AD22ABADcosACB2+CD22CBCDcosC CB2+CD22CBCDcosA 5分即 x2+(9x)22 x(9x) cosAx2+(5x)22 x(5x) cosA解得 cosA，即f(
10、 x)其中x(2，5) 8分（2）四边形ABCD的面积S(ABAD+ CBCD)sinAx(5x)+x(9x) x(7x) 11分记g(x)(x24)( x214x49)，x(2，5)由g(x)2x( x214x49)(x24)( 2 x14)2(x7)(2 x27 x4)0，解得x4(x7和x舍) 14分所以函数g(x)在区间(2，4)内单调递增，在区间(4，5)内单调递减因此g(x)的最大值为g(4)129108所以S的最大值为6答：所求四边形ABCD面积的最大值为6m2 16分19（本小题满分16分）函数f(x)exbx，其中e为自然对数的底（1）当b1时，求曲线yf(x)在x1处的切线
11、方程；（2）若函数yf(x)有且只有一个零点，求实数b的取值范围；（3）当b0时，判断函数yf(x)在区间(0，2)上是否存在极大值若存在，求出极大值及相应实数b的取值范围解：（1）记g(x)exbx当b1时，g(x)ex1当x0时，g(x)0，所以g(x)在(0，)上为增函数又g(0)10，所以当x(0，)时，g(x)0所以当x(0，)时，f(x)g(x)g(x)，所以f(1)g(1)e1所以曲线yf(x)在点(1，e1)处的切线方程为：y(e1)(e1)(x1)，即y(e1)x 4分（没有说明“在x1附近，f(x)exbx”的扣1分)（2）解法一 f(x)0同解于g(x)0，因此，只需g(x)0有且只有一个解即方程exbx0有且只有一个解 因为x0不满足方程，所以方程同解于b 6分令h(x)，由h(x)0得x1当x(1，)时，h(x)0，h(x)单调递增，h(x)(e，)；当x(0，1)时，h(x)0，h(x)单调递减，h(x)(e，)；所以当x(0，)时，方程b有且只有一解等价于be 8分当x(，0)时，h(x)单调递减，且h(x)(，0)，从而方程b有且只有一解等价于b(
