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1、综合法和分析法（教案）1. 教材分析证明对高中生来说并不陌生，在上一节学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且在之前的数学学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识。2. 教学目标一知识与技能目标（ 1）了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法（ 2）了解综合法和分析法的思维过程和特点二过程与方法目标（ 1）通过对实例的分析、归纳与总结，增强学生的理性思维能力（ 2）通过实际演练， 使学生体会证明的必要性， 并增强他们分析问题、 解决问题的能力三情感、态度及价值观通过本节课的学习，了解直接证
2、明的两种基本方法，感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高学生的思维能力3. 教学重点 / 难点教学重点：综合法和分析法的思维过程及特点。教学难点：综合法和分析法的应用。4. 学情分析学生在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节通过熟悉的数学实例，帮助学生对证明数学问题的方法形成较完整的认识。5. 教学过程一、复习引入a +b回顾基本不等式：2ab(a0,b0) 的证明过程：法一 :法二：因为 ; ( ab )20要证 ;a + bab2所以a + b2ab0只需证 ;a + b2aba + b2ab只需证 ;a +
3、 b2ab0所以a + bab只需证 ;(ab)202所 以成立因 为 ;0 成立(ab) 2所 以a + bab成立2二、探索新知1、综合法 ：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等, 经过一系列的推理论证, 最后推导出所要证明的结论成立, 这种证明方法叫做综合法。综合法又叫由因导果法或顺推证法特点 : “执因索果”推理过程： 用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q 表示所要证明的结论用框图表示为:. 则综合法2、分析法： 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理
4、等）为止，这种证明的方法叫做分析法分析法又叫执果索因法或叫逆推证法特点：执果索因.推理过程：二、例题分析例 1：已知 a0,b0, 求证 a(b 2+c2)+b(c 2+a2) 4abc 证明： 因为 b 2+c2 2bc,a022所以a(b+c ) 2abc.又因为c 2+b2 2bc,b0所以 b(c2+a2) 2abc.因此 a(b2+c2)+b(c 2+a2) 4abc.例 2：在中，三个内角、对应的边分别为a、b、 c，且、成等差数列， a、 b、c 成等比数列，求证为等边三角形证明： 由 A,B,C 成等差数列，有 2B=A+C，因为 A,B,C 是三角形的内角，所以o，A+B+C
5、=180所以 B=60o222222由 a,b,c 成等比数列，有 b =ac,则 b =a +c -2accosB=a+c -ac,化简得： a2+c2-ac =ac，即 (a-c) 2=0因此 a=c，从而有A=CoA=B=C=60。所以三角形ABC是等边三角形。【学生练习】 1、在 ABC中，已知 cosAcosA sinAsinB,则 ABC的形状一定是钝角三角形2、下面的四个不等式：a2+b2+3 ab+3 （ a+b）； a(1-a) 1 ； ba 2；（ a2+b2）4ab? (c2+d2 ) （ ac+bd） 2. 其中恒成立的有评注：用综合法证明不等式时常用的结论：（ 1）
6、ab( ab )2a 2b2（ a,bR ）22(2)a b2ab (a0,b0)例 3: 设 a,b为实数，求证：a2b22 (a)2b证明： 当 a+b 0 时，a2b2 0a 2b 22 (a b) 成立。2当 a+b 0 时，用分析法证明如下：要证a2b22 (a)，2b只需证 ( a 2b2 ) 2 2 (ab) 22即证 a 2b 21 ( a2b22ab) 。2即证 a 2b2 2ab a2b2 2ab 对一切实数恒成立所以 a2b 22 (a b) 成立。2综上所述，不等式成立【学生练习】已知 a 0， 11 1，求证： 1 a1ba1 b三、归纳小结1、综合法处理问题的三个步骤：分析条件，选择方向转化条件，组织过程适当调整，回顾反思。2、当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法。3、综合法优点：条理清晰，易于表述证明格式：因为 / 由 可知所以 所以 综上所述，原命题成立4、分析法优点：解题方向比较明确，利于寻找解题思路证明格式：要证 只需证 只需证 即证 因为 恒成立所以原命题成立四、课后作业
