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1、差分方程模型引例：现有n个大小不同的圆盘，按其半径大小依次套在桩A上，从上到下半径依次由小到大。如图1所示。现要将此n个盘移到空桩B和C上，要求：1） 一次只能移动一个盘。2） 始终保持大盘在下，小盘在上。移动过程中A桩也可利用。现设移动n个盘的次数为，试建立关于的差分方程。解：先将A上的n-1个盘按题设要求移到C上，这需要移动次，再将A上的大盘移到B上，这需要移动一次，最后将C上的n-1个盘按要求移到B上，这又需要移动次，于是得差分方程为： 上式中，=+1为本部分要介绍的差分方程。现给出差分方程的定义：把数列中的和前面的（0in）关联起来的方程叫做差分方程，差分方程有叫做递推关系。如：=-，
2、-=n等这样的方程都叫差分方程。下面以实例介绍著名的差分方程-斐波那契（Fibonacci）数列。例：设第一个月初有雌雄各一的一对小兔。假定两月后长成成兔，同时（即第三月）开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增小兔也按此规律繁殖。设第n月末共有对兔子，试建立关于的差分方程。解：因第n月末的兔子包括两部分，一部分为上月留下的，另一部分为当月新生的，由题意可设当月生的小兔数等于前月（即n-2月）末的兔数，所以 上式中Fn即定义为斐波那契（Fibonacci）数列。差分方程的解法（本处只介绍常系数线性差分方程的解法）1，常系数线性齐次差分方程的解法。形如 +=0 （1）的差分方程，叫做an的k阶常系数
3、线性齐次差分方程，其中bi为系数,bk0,nk.方程 +.+ =0 （2）称为差分方程（1）的特征方程，其根称为特征根。例1二阶常系数差分方程=+,变形为-=0,它的特征方程为 -1=0三阶常系数线性差分方程,它的特征方程为 +-1=0定理一（单根） 差分方程+=0, 0的特征方程+.+ =0有k个相异的特征根,，则=是一个通解，其中, ,.为任意常数。且由一组初值条件 =, =, . 可确定一个满足初值条件的特解。例2 求斐波那契数列 的通项。解：差分方程的特征方程为; 特征根与是互异的，所以通解 由初值条件，得 联立解出 ，故 定理二（重根） 差分方程，的特征方程的相异特征根，重数依次为，
4、则差分方程的通解为 例3 求解解特征方程特征根为因而通解将代入，定出故 定理三 差分方程，的特征方程的特征根出现一对共轭复根和相异的k-2个根，则差分方程的通解为 其中。本定理不再举例。2 常系数线性非齐次差分方程的解法定义 形如 （，）的差分方程为k阶常系数线性非齐次差分方程。常系数线性非齐次差分方程对应的齐次差分方程为 定理四 非齐次差分方程的通解等于对应齐次差分方程的通解加上非齐次方程的特解即，其中是对应齐次差分方程的通解，是非齐次差分方程的特解。注：如何求非齐次差分方程的特解，参照常微分非齐次方程的解法。例 4 求非齐次差分方程的通解。 解：对应的齐次方程的特征方程为 解得二重根，所以对应的齐次方程的通解为 由所给非齐次差分方程的右端，可以设其特解为 将代入原方程解得A=，故非齐次差分方程的通解为
