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1、高2014级20122013学年度下期2月月考数学（理）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70 km/h的汽车视为“超速”，并将受到处罚，如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有()A30辆 B40辆 C60辆 D80辆2已知直线平行，则a=()（ ）A0B1CD3已知=()ABCD4点E是正四面体ABCD的棱AD的中点，则异面直线BE与AC所成的角的余弦值为()ABCD5设等差数列的前n项和为,若,则当取最小值时
2、,n等于()A6 B7 C8 D96设 A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是()A. 若AC与BD共面，则AD与BC 共面B. 若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C. 若AB=AC,DB=DC,则ADBCD. 若AB=AC，DB=DC,则AD=BC7某单位员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知C组中甲、乙二人均被抽到的概率是则该单位员工总数为()第8题图A110B100C90D808. 某零件的正（主）视图与侧（左）视图均是如图所示的图形（实线组成半径为的半圆，虚线是等腰三角形的两腰），俯
3、视图是一个半径为的圆（包括圆心），则该零件的体积是()A B C D 9阅读右侧的算法框图，输出的结果的值为() A B C D0 10四面体的四个面的面积分别为、，记其中最大的面积为，则的取值范围是()A. B. C. D. ( 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分.11圆的圆心到直线的距离为 .12. 已知递增的等比数列中,则 . 13. 如图，在正方体中，点P是上底面内一动点，则三棱锥的主视图与左视图的面积的比值为_. 14在中，在上任取一点，使为钝角三角形的概率为 .15空间三条直线中，任何两条不共面，且两两互相垂直，直线与这三条直线所成的角都为，则= 。三、解答题：本大
4、题共6小题，满分75分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. （本小题满分12分）空气质量指数PM2.5(单位：g/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：PM2.5日均浓度035357575115115150150250250空气质量级别一级二级三级四级五级六级空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染某市2012年3月8日4月7日(30天)对空气质量指数PM2.5进行检测，获得数据后整理得到如下条形图：（）估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；（）从空气质量级别为三级和四级的数据中任取2个，求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率
5、。17（本小题满分12分）如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD=2，是正三角形（）将四边形ABCD的面积表示为的函数；（）求的最大值及此时的值 18（本小题满分12分）如图所示，在三棱锥中，平面平面，于点， ，（）求三棱锥的体积；（）证明为直角三角形19（本小题满分12分）已知以点 (tR , t 0)为圆心的圆与轴交于点O, A，与y轴交于点O, B，其中O为原点（）求证：OAB的面积为定值；（）设直线与圆C交于点M, N，若OM = ON，求圆C的方程20（本小题满分13分）如图，已知正方形在水平面上的正投影（投影线垂直于投影面）是四边形，其中与重合，且（）证明平面，并指出四边形的形状
6、；（）如果四边形中，正方形的边长为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值21（本小题满分14分）已知曲线，过C上一点作斜率的直线，交曲线于另一点，再过作斜率为的直线，交曲线C于另一点，过作斜率为的直线，交曲线C于另一点，其中， （I）求与的关系式； （II）判断与2的大小关系，并证明你的结论； （III）求证：.高2014届第四学期入学考试数学（理）答案一、选择题（每题5分，共50分）1某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70 km/h的汽车视为“超速”，并将受到处罚，如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有(B)A30辆 B
7、40辆 C60辆 D80辆解析由题图可知，车速大于或等于70 km/h的汽车的频率为0.02100.2，则将被处罚的汽车大约有2000.240(辆)答案B2已知直线平行，则a=（ C ）A0B1CD3已知=（ B ）ABCD4点E是正四面体ABCD的棱AD的中点，则异面直线BE与AC所成的角的余弦值为（ A ）ABCD5设等差数列的前n项和为,若,则当取最小值时,n等于（ A ）A6 B7 C8 D96设 A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是（ D ）A. 若AC与BD共面，则AD与BC 共面B. 若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C. 若AB=AC,DB=D
8、C,则ADBCD. 若AB=AC，DB=DC,则AD=BC7某单位员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知C组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为( B )A110B100C90D80第8题图8. 某零件的正（主）视图与侧（左）视图均是如图所示的图形（实线组成半径为的半圆，虚线是等腰三角形的两腰），俯视图是一个半径为的圆（包括圆心），则该零件的体积是（C）A B C D 9阅读右侧的算法框图，输出的结果的值为 (D) A B C D0 10四面体的四个面的面积分别为、，记其中最大的面积为，则的取值范围是( D )
9、A. B. C. D. ( 二、填空题（每题5分，共25分）11圆的圆心到直线的距离为 .12. 已知递增的等比数列中,则 . 13. 如图，在正方体中，点P是上底面内一动点，则三棱锥的主视图与左视图的面积的比值为_1_. 14在中，在上任取一点，使为钝角三角形的概率为15空间三条直线中，任何两条不共面，且两两互相垂直，直线与这三条直线所成的角都为，则= .三、解答题（共六道大题，75分）16. （本小题满分12分）空气质量指数PM2.5(单位：g/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：PM2.5日均浓度0353575751151151501502502
10、50空气质量级别一级二级三级四级五级六级空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染某市2012年3月8日4月7日(30天)对空气质量指数PM2.5进行检测，获得数据后整理得到如下条形图：(1)估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；(2)从空气质量级别为三级和四级的数据中任取2个，求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率。16.解：61217（本小题满分12分）如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD=2，是正三角形（1）将四边形ABCD的面积表示为的函数；（2）求的最大值及此时的值 4分 5分 6分 9分 10分图5. 12分18（本小题满分12分）如图5所示，在三棱锥中，平面平面，
11、于点， ，（1）求三棱锥的体积；（2）证明为直角三角形18（1）证明：因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面 1记边上的中点为，在中，因为， 所以因为，所以2所以的面积3因为，所以三棱锥的体积4（2）证法1：因为，所以为直角三角形因为，所以6连接，在中，因为，所以8由（1）知平面，又平面，所以在中，因为，所以在中，因为，所以所以为直角三角形1219（本小题满分12分）已知以点 (tR , t 0)为圆心的圆与轴交于点O, A，与y轴交于点O, B，其中O为原点（1）求证：OAB的面积为定值；（2）设直线与圆C交于点M, N，若OM = ON，求圆C的方程19.解：（1）， 设圆的方程是 2 令，得；令，得4 ，即：的面积为定值8 （2）垂直平分线段 直线的方程是8 ，无解，这样的圆不存在。12 如果把题纠正过来了，答案如下： （2）垂直平分线段 ，直线的方程是 ，解得： 当时，圆心的坐标为， 此时到直线的距离，圆与直线相交于两点当时，圆心的坐标为，此时到直线的距离圆与直线不相交，不符合题意舍去圆的方程为20（本小题满分13分）如图，已知正方形在水平面上的正投影（投影线垂直于投影面）是四边形，其中与重合，且（1）证明平面，并
