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1、实用文档第九章压杆稳定习题解习题9-1在 9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a所示坐标系及挠度曲线形状，导出了临界应力公式Pcr2ei。试分析当分别取图b,c,d所示坐标系及挠曲线形状时，压杆在Fcr作用下的挠曲线微分方程是否与图a情况下的相同，由此所得 Fcr公式又是否相同。解：挠曲线微分方程与坐标系的y轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。因为(b)图与(a)图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是Elw M(x)( c)、(d)的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程:Elw M (x)，显然，这微分方程与(a)的微分方程不同。临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两
2、端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即:Per2EI习题9-2图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图 所示杆在中间支承处不能转动）？As*?解：压杆能承受的临界压力为:Per2ei（.l）2由这公式可知,对于材料和截面相同的压杆,它们能承受的压力与原压相的相当长度丨的平方成反比，其中，为与约束情况有关的长度系数。（a）l 1 5 5m（b）l 0.7 7 4.9m（e）l 0.5 9 4.5m（d）l 2 2 4m（e）l 1 8 8m（f）l 0.7 5 3.5m （下段）；l 0.5 5 2.5m
3、（上段）故图e所示杆Fcr最小，图f所示杆Fcr最大。习题9-3图a,b所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图a）的基础放在弹性地基上，第二根杆（图b）的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为 PcrElmin（2.I）2?为什么？并由此判断压杆长因数是否可能大于2。螺旋千斤顶（图C）的底座对丝杆（起顶杆）的稳定性有无影响？校核丝杆稳定性时, 把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为I的压杆是否偏于安全？（C）解：临界力与压杆两端的支承情况有关。因为的下支座不同于（b）的下支座，所以它们的临界力计算公式不同。（b）为一端固定，一端自由的情况，它的长度因素2，其临界力为：
4、Per2EImin(2.I)2。但是，（a）为一端弹簧支座，一端自由的情况，它的长度因素2，因此，不能用PCrElmin(2.I)2来计算临界力。AX为了考察（a）情况下的临界力，我们不妨设下支座（B）的转动刚度C MEl20 -，I且无侧向位移，则:Elw M (x)Fer(w)令E- k2，得:k2w k2微分方程的通解为:Asi nkx BcoskxAk coskxBksin kxFerC由边界条件：x解得:FerCk，B整理后得到稳定方程:kl tan klEl /IFersin kI Ck20coskl用试算法得:kl 1.496故得到压杆的临界力:Fer(1.496)岸2ei2。(
5、2.1I)2因此，长度因素可以大于2。这与弹性支座的转动刚度当C 0时，C有关，C越小，则值越大。螺旋千斤顶的底座与地面不是刚性连接，即不是固定的。它们之间是靠摩擦力来维持相 对的静止。当轴向压力不是很大，或地面较滑时，底座与地面之间有相对滑动，此时，不能 看作固定端；当轴向压力很大，或地面很粗糙时，底座与地面之间无相对滑动，此时，可以 看作是固定端。弹性支座较合适。这种情况，上）、上端自由、长度为I的压杆”因此，校核丝杆稳定性时，把它看作上端自由，下端为具有一定转动刚度的2，算出来的临界力比“把它看作下端固定（固定于底座算出来的临界力要小。譬如，设转动刚度C 20旦，I则：巳個端Per弹簧看
6、作下端固定2 12-1.1025，22（固定于底座上）、上端自由、长度为I的压杆不是偏于安全，而是偏于危险。Per固端1.1025Per,弹簧。因此，校核丝杆稳定性时，把它习题9-4试推导两端固定、弯曲刚度为EI，长度为I的等截面中心受压直杆的临界应力Per的欧拉公式。力为卩“，水平反力为0,约束反力偶矩两端相等，用M e表示,则Me的v Asin kx B eoskxMePer.(a)v Ak eos kxBk sin kx边界条件： x0:0 Asin0 B eos0MeMe。Per把A、B的值代入(a)得：vMPee (1reos kx)1vM ek sin kxPer边界条件：xL ；
7、 v0 :0(1 eoskL)，FLr1 eoskL 0x0 v0 :0M ek sin kLPersin kL 0 x 0 v 0: 0 Ak eos0 Bksin0 ； A 0。以上两式均要求：kL 2n ，(n 0,1,3,)解:设压杆向右弯曲。压杆处于临界状态时，两端的竖向反下标e表示端部end的意思。若取下截离体为研究对象, 转向为逆转。M (x)Per v( x)M eIIElvM(x) MeIIElvPe,(X)MeIIPer/ Mevv(x)，ElElIIvk2v2 M e k2 ePc,(X)上述微分方程的通解为:Per令k2 虫，则ElPerEI其最小解是:kL 2 ，或
8、k2故有：k(0.5L)2虫，因此:EI2EI2(0.5L)2习题9-5长5m的10号工字钢，在温度为00C时安装在两个固定支座之间，这时杆不受力。已知钢的线膨胀系数125 10 7(0C) 1，E 210GPa。试问当温度升高至多少度时，杆将丧失稳定性？=29.2C卅也 加U咖1尸说打 125xW7 xl4.3xW4习题9-6两根直径为d的立柱，上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接，如图所示。 试根据杆端的约束条件， 分析在总压力F作用下，立柱可能产生的几种失稳形态下的挠曲线形状，分别写出对应的总压力F之临界值的算式(按细长杆考虑)，确定最小临界力Pcr的解：在总压力F作用下，立柱微弯时可能
9、有下列三种情况:(a)每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳:/=0.50.125/28/3(b )两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在自身平面内失稳4=2失稳时整体在面内弯曲，则 1，2两杆组成一组合截面。(/ +4?)(c )两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在面外失稳JT6412旷故面外失稳时Pcr最小：FCr3Ed12812习题9-7图示结构ABCD由三根直径均为d的圆截面钢杆组成， 在B点铰支，而在A点和C点固定，D为铰接点，一10 。若结构由于杆件在平面 ABCD内弹性失稳而丧失承载能d力，试确定作用于结点 D处的荷载F的临界值。解：杆DB为两端铰支.，杆DAM DC为一端
10、铰 支一端固定，选取“丄。此结构为超静定结构， 当杆DB失稳时结构仍能继续承载，直到杆AD及 DC也失稳时整个结构才丧失承载能力，故纸】=/； = -p(0 7x尸 r匚 oc30*罕亠彈t竺狞 H 卩 ?2 H= 5.7E?rd2 xlO-436.024El习题9-8图示铰接杆系 ABC由两根具有相同截面和同样材料的细长杆所组成。若由于杆 件在平面ABC内失稳而引起毁坏，试确定荷载F为最大时的 角（假设0）。2解：要使设计合理，必使 AB杆与BC杆同时失稳,即:P2EIF coscr, AB.2l ABP2eiF sincr,BCl 2lBCF sintan/ 丨 AB、22()cotI B
11、CF cos2arcta n( cot)习题9-9下端固定、上端铰支、长 I 4m的压杆，由两根10号槽钢焊接而成，如图所 示，并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。已知杆的材料为 Q235钢,强度许用应力170MPa，试求压杆的许可荷载。解：查型钢表得:匚=2x198 3xW =396 6x10 =2x(25.6x10 + 12.74x10 x32.82 10)= 325.3x101.84X10-3p_ J 325.3x10M V100x2x48xl= 二 0.301x170 = 51.2MPa 5,=J4crst =2x12.74x10x51.2x1 = 130x1b3 N
12、 = 130kN习题9-10如果杆分别由下列材料制成：(1 )比例极限 P 220MPa，弹性模量E 190GPa的钢；(2) P 490MPa，E 215GPa，含镍 3.5%的镍钢；(3) P 20MPa，E 11GPa 的松木。试求可用欧拉公式计算临界力的压杆的最小柔度。乂 10220xl0d解：（1）二 92 3(2)山H 1 1 H 10” 20x10s(3)= 73.7习题9-11两端铰支、强度等级为 TC13的木柱，截面为150mm 150mm的正方形，长度I 3.5m，强度许用应力10MPa。试求木柱的许可荷载。解:= 80.8由公式（9-12a ）二 0.393F = tpa
13、A = 0393xl0xl06 xl50a xlOT = 88.4xlO3N = 88.-4 kN1.3kN，木材的强度许用应力10MPa 。1.3 1N cosC1NsinC 10M1.3sin C cosCsin C20.8,22 1.52cosC1.50.622 1.521.30.8 0.60.929(kN)bh312 40 403213333(mm4)12i213333、40 4011.547( mm)1 2.5 10311.547216.591习题9-12图示结构由钢曲杆 AB和强度等级为TC13的木杆BC组成。已知结构所有的连接均为铰连接，在 B点处承受竖直荷载 F 试校核BC杆的稳定性。解：把BC杆切断，代之以轴力 N,则Ma 0
