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1、勾股定理讲义考点1、勾股定理的内容和证明勾股定理：例1：思考：以下图形中那些能用来证明勾股定理，怎么证？图1 图2 图3 图4图1BBBAAACCC图2图3例2：在中，若C=，如下图1根据勾股定理可以得出：a+b=c，若不是直角三角形，如图2与图3，请你类比勾股定理猜想a+b与c 的关系，并且证明你的结论考点2、利用勾股定理求长度在中，若C=，则例3：在RtABC中，C90，A、B、C的对边分别为a、b、c(1)若ab34，c75cm，求a、b；(2)若ac1517，b24，求ABC的面积；(3)若ca4，b16，求a、c；(4)若A30，c24，求c边上的高hc；(5)若a、b、c为连续整数
2、，求abc1、ABC中，C90，a、b、c分别是A、B、C的对边(1)若a5，b12，则c_；(2)若c41，a40，则b_；(3)若A30，a1，则c_，b_；(4)若A45，a1，则b_，c_2、如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从ABC所走的路程为_3、等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为_，斜边上的高为_4、在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为_5、如图，RtABC中，C90，A30，BD是ABC的平分线，AD20，求BC的长考点3、勾股定理的实际应用例4：如图1，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且，点A
3、处有一所中学，AP=160m，假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到影响，那么拖拉机在公路MN沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声的影响？请说明理由，如果受影响，那么学校受影响的时间为多少长？（已知拖拉机的速度为18km/h）例5：以下是小辰同学阅读的一份材料和思考：图 图 图 五个边长为1的小正方形如图放置，用两条线段把它们分割成三部分(如图)，移动其中的两部分，与未移动的部分恰好拼接成一个无空隙无重叠的新正方形(如图). 小辰阅读后发现，拼接前后图形的面积相等，若设新的正方形的边长为x（x0），可得x2=5，x=.由此可知新正方形边长等于两个小正方形组成的矩形的对角线长. 参考上面的材料
4、和小辰的思考方法，解决问题：图 图五个边长为1的小正方形（如图放置），用两条线段把它们分割成四部分，移动其中的两部分，与未移动的部分恰好拼接成一个无空隙无重叠的矩形，且所得矩形的邻边之比为1：2具体要求如下：（1）设拼接后的长方形的长为a，宽为b，则a的长度为 ；（2）在图中，画出符合题意的两条分割线（只要画出一种即可）；（3）在图中，画出拼接后符合题意的长方形（只要画出一种即可）6、有一块如图的木板，经过适当的剪切后，可拼成一块正方形板材，请在图中画出剪切线，并把剪切后的板材拼成的一个面积最大的正方形在图中画出（保留剪切痕迹，不写画法）7、现场学习题 问题背景：在ABC中，AB、BC、AC三
5、边的长分别为、，求这个三角形的面积小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点ABC（即ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示这样不需求ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积（1）请你将ABC的面积直接填写在横线上 _思维拓展：（2）我们把上述求ABC面积的方法叫做构图法若ABC三边的长分别为、，请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为)画出相应的ABC，并求出它的面积是： 探索创新：（3）若ABC三边的长分别为、 ，请运用构图法在图3指定区域内画出示意图，并求出ABC的面积为： 8、如图，一架长25分米的梯子AB，斜立在一竖直的墙
6、上，这时梯子底端距墙底7分米如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，梯子的底端的水平方向沿一条直线也将滑动4分米吗？用所学知识，论证你的结论9、如图，一个机器人从A点出发，拐了几个直角的弯后到达B点位置，根据图中的数据，点A和点B的直线距离是 例6：如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC1千米，BD3千米，CD3千米现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水铺设水管的工程费用为每千米0元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W10、如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米?若楼梯宽2米，地毯每平方米3
7、0元，那么这块地毯需花多少元?11、在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处；另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米?12、在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，则这里的水深是 米考点4、勾股定理的逆定理勾股定理逆定理：勾股数：FEACBD例7：如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE=BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问AEF是什么三角形？请说明理由 例8：若ABC的三边的长为a、b、c，根据下
8、列条件判断ABC的形状 （1） （2）aab+ abac+ bcb=0（3）若三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1呢？（n为正整数）13、小丽和小芳二人同时从公园去图书馆，都是每分钟走50米，小丽走直线用了10分钟，小芳先去家拿钱再去图书馆，小芳到家用了6分钟，从家到图书馆用了8分钟，小芳从公园到图书馆拐了个（设公园到小芳家及小芳家到图书馆都是直线）（ ）A锐角 B直角 C 钝角 D不能确定14、如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）ACD、EF、GHBAB、EF、GH CAB、CD、GH DAB、CD、E
9、F15、一个三角形的三边之比是3:4:5 则这个三角形三边上的高之比是（ ）A 20:15:12B 3:4:5 C 5:4:3 D 10:8:216、在下列说法中是错误的（ ） A在ABC中，CAB，则ABC为直角三角形 B在ABC中，若A：B：C5：2：3，则ABC为直角三角形 C在ABC中，若ac，bc，则ABC为直角三角形 D在ABC中，若a：b：c2：2：4，则ABC为直角三角形17、 三角形的三边长分别为 a2b2、2ab、a2b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（）A直角三角形 B 钝角三角形 C锐角三角形 D不能确定18、五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现
10、将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ） A B C D19、若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数)，则以a2、a、a2为边的三角形的面积为_20、ABC的两边a，b分别为5，12，另一边c为奇数，且abc是3的倍数，则c应为_，此三角形为_ _21、已知a、b、c是ABC的三边，且a2c2b2c2a4b4，试判断三角形的形状例9：已知：在RtABC中，C90，A、B、C的对边分别为a、b、c，设ABC的面积为S，周长为l三边a、b、cabc3、4、525、12、1348、15、176（1）填表：（2）如果abcm，观察上表猜想： (用含有m的代数式表示)（3）证明（2）中
11、的结论22、观察下面表格中所给出的三个数a,b,c，其中a,b,c为正整数，且abc3、4、53+ 4=55、12、135+ 12=137、24、257+ 24=259、40、419+ 40=41.21、b、c21+ b=c （1）试找给他们的共同点，并证明你的结论 （2）当a=21时，求b,c的值23、观察下列各式：324252，8262102，15282172，242102262，你有没有发现其中的规律?请用含n的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子考点5、勾股定理与面积labc24、直线l上有三个正方形a、b、c，若a和c的面积分别为5和11，则b的面积为 25、如图所示，
12、所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是 cm226、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1S2S3S4等于 DCBA图327、有一块土地形状如图3所示，AB=20米，BC=15米，CD=7米，请计算这块土地的面积28、如右图：在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，A=60，求四边形ABCD的面积ADCB29、如图所示的一块地，已知AD=4m，CD=3m， ADDC，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积
