高三数学理一轮复习椭圆双曲线抛物线考点专练十四

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1、.板块命题点专练十四命题点一椭圆命题指数:难度:高、中题型:选择题、填空题、解答题1(2015XX高考)椭圆1(m0)的左焦点为F1(4,0),那么m()A2B3C4 D9解析:选B由左焦点为F1(4,0)知c4又a5,25m216,解得m3或3又m0,故m32(2016全国丙卷)O为坐标原点,F是椭圆C:1(ab0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点P为C上一点,且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E假设直线BM经过OE的中点,那么C的离心率为()ABCD解析:选A如下图,由题意得A(a,0),B(a,0),F(c,0)设E(0,m),由PFOE,得,那么|MF|又由O

2、EMF,得,那么|MF|由得ac(ac),即a3c,e应选A3(2016全国乙卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,假设椭圆中心到l的距离为其短轴长的,那么该椭圆的离心率为()ABCD解析:选B不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0,b)和一个焦点F(c,0),那么直线l的方程为1,即bxcybc0由题意知2b,解得,即e应选B4(2015XX高考)椭圆1(ab0 )的右焦点F(c,0)关于直线yx的对称点Q在椭圆上,那么椭圆的离心率是_解析:设椭圆的另一个焦点为F1(c,0),如图,连接QF1,QF,设QF与直线yx交于点M由题意知M为线段QF的中点,且OMFQ又O为线段F1F的中点,F1Q

3、OM,F1QQF,|F1Q|2|OM|在RtMOF中,tanMOF,|OF|c,可解得|OM|,|MF|,故|QF|2|MF|,|QF1|2|OM|由椭圆的定义得|QF|QF1|2a,整理得bc,ac,故e答案:5(2015全国卷)椭圆C:1(ab0)的离心率为,点(2,)在C上(1)求C的方程;(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值解:(1)由题意得,1,解得a28,b24所以C的方程为1(2)证明:设直线l:ykxb(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM)将ykxb代入1,

4、得(2k21)x24kbx2b280故xM,yMkxMb于是直线OM的斜率kOM,即kOMk所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值命题点二双曲线命题指数:难度:中题型:选择题、填空题1(2016全国乙卷)方程1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,那么n的取值X围是()A(1,3) B(1,)C(0,3) D(0,)解析:选A由题意得(m2n)(3m2n)0,解得m2n3m2,又由该双曲线两焦点间的距离为4,得m2n3m2n4,即m21,所以1n0,b0),那么|BM|AB|2a,MBx18012060,点M的坐标为点M在双曲线上,1,解得ab,ca,e应选D3(2016全国甲卷)F

5、1,F2是双曲线E:1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sinMF2F1,那么E的离心率为()ABCD2解析:选A法一:作出示意图,如图,离心率e,由正弦定理得e应选A法二:因为MF1与x轴垂直,所以|MF1|又sinMF2F1,所以,即|MF2|3|MF1|由双曲线的定义得2a|MF2|MF1|2|MF1|,所以b2a2,所以c2b2a22a2,所以离心率e4(2015全国卷)双曲线过点(4,),且渐近线方程为yx,那么该双曲线的标准方程为_解析:法一:双曲线的渐近线方程为yx,可设双曲线的方程为x24y2(0)双曲线过点(4,),164()24,双曲线的标准方程为y21法二:渐近

6、线yx过点(4,2),而0,b0)由条件可得解得双曲线的标准方程为y21答案:y215(2016高考)双曲线1(a0,b0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点假设正方形OABC的边长为2,那么a_解析:不妨令B为双曲线的右焦点,A在第一象限,那么双曲线如下图四边形OABC为正方形,|OA|2,c|OB|2,AOB直线OA是渐近线,方程为yx,tanAOB1,即ab又a2b2c28,a2答案:2命题点三抛物线命题指数:难度:中题型:选择题、填空题、解答题1(2015全国卷)椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y28x的焦点重合,A,B是C的

7、准线与E的两个交点,那么|AB|()A3 B6C9 D12解析:选B由题意,设椭圆E的方程为1(ab0),抛物线y28x的焦点为(2,0),椭圆中c2,又,a4,b2a2c212,从而椭圆的方程为1抛物线y28x的准线为x2,xAxB2,将xA2代入椭圆方程可得|yA|3,由椭圆的对称性可知|AB|2|yA|62(2015XX高考)如图,设抛物线y24x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,那么BCF与ACF的面积之比是()ABCD解析:选A由图形可知,BCF与ACF有公共的顶点F,且A,B,C三点共线,易知BCF与ACF的面积之比就等于

8、由抛物线方程知焦点F(1,0),作准线l,那么l的方程为x1点A,B在抛物线上,过A,B分别作AK,BH与准线垂直,垂足分别为点K,H,且与y轴分别交于点N,M由抛物线定义,得|BM|BF|1,|AN|AF|1在CAN中,BMAN,3(2015XX高考)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:1(a0,b0)的渐近线与抛物线C2:x22py(p0)交于点O,A,B假设OAB的垂心为C2的焦点,那么C1的离心率为_解析:双曲线的两条渐近线方程为yx,与抛物线方程联立得交点A,B,抛物线焦点为F,由三角形垂心的性质,得BFOA,即kBFkOA1,又kBF,kOA,所以有1,即,故C1的离心率e 答案:

9、4(2015全国卷)在直角坐标系xOy中,曲线C:y与直线l:ykxa(a0)交于M,N两点(1)当k0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有OPMOPN.说明理由解:(1)由题设可得M(2,a),N(2,a),或M(2,a),N(2,a)又y,故y在x2处的导数值为,C在点(2,a)处的切线方程为ya(x2),即xya0y在x2处的导数值为,C在点(2,a)处的切线方程为ya(x2),即xya0故所求切线方程为xya0和xya0(2)存在符合题意的点理由如下:设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别

10、为k1,k2将ykxa代入C的方程,得x24kx4a0故x1x24k,x1x24a从而k1k2当ba时,有k1k20,那么直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故OPMOPN,所以点P(0,a)符合题意命题点四圆锥曲线中的综合问题命题指数:难度:高题型:解答题1(2016全国甲卷)A是椭圆E:1的左顶点,斜率为k(k0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MANA(1)当|AM|AN|时,求AMN的面积;(2)当2|AM|AN|时,证明:k2解:(1)设M(x1,y1),那么由题意知y10由及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为又A(2,0),因此直线AM的方程为yx2将xy2代入1得7y21

11、2y0解得y0或y,所以y1因此AMN的面积SAMN2(2)证明:设直线AM的方程为yk(x2)(k0),代入1得(34k2)x216k2x16k2120由x1(2),得x1,故|AM|x12|由题意,设直线AN的方程为y(x2),故同理可得|AN|由2|AM|AN|,得,即4k36k23k80设f(t)4t36t23t8,那么k是f(t)的零点f(t)12t212t33(2t1)20,所以f(t)在(0,)上单调递增又f()15260,f(2)60,因此f(t)在(0,)上有唯一的零点,且零点k在(,2)内,所以k22(2016全国乙卷)设圆x2y22x150的圆心为A,直线l过点B(1,0

12、)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E(1)证明|EA|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值X围解:(1)证明:因为|AD|AC|,EBAC,所以EBDACDADC,所以|EB|ED|,故|EA|EB|EA|ED|AD|又圆A的标准方程为(x1)2y216,从而|AD|4,所以|EA|EB|4由题设得A(1,0),B(1,0),|AB|2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为1(y0)(2)当l与x轴不垂直时,设l的方程为yk(x1)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2)由得(4k23)x28k2x4k2120,那么x1x2,x1x2所以|MN|x1x2|过点B(1,0)且与l垂直的直线m:y(x1),点A到直线m的距离为,所以|PQ|24 故四边形MPNQ的面积S

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