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1、3.4 基本不等式【基础练习】1下列函数中，最小值为2的是()AyBylg x(1x10)Cy3x3x(xR)Dysin x【答案】C【解析】2，当且仅当，即x221时，等号成立，但x221显然不成立，A不正确lg x2，当且仅当lg x，即x10时，等号成立，而1x10，故等号不成立，B不正确.3x3x2，当且仅当3x3x，即x0时取等号，C正确sin x2，当且仅当sin x1时取等号，而0x，等号不成立，D不正确2设a0，b0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为()A8B4C1D【答案】B【解析】根据题意得3a3b3，ab1，24.当ab时“”成立故选B3已知x3y2，则3x27y的
2、最小值为()A2B4C3D6【答案】D【解析】x3y2，3x27y2226，当且仅当x3y1时等号成立故选D4.(6a3)的最大值为()A9BC3D【答案】B【解析】因为6a3，所以3a0，a60，则由基本不等式可得，当且仅当a时等号成立5已知t0，则函数y的最小值是_【答案】2【解析】t0，yt4242，当且仅当t，即t1时，等号成立6设a，b都是正数且满足1，则使abc恒成立的实数c的取值范围是_【答案】(，9)【解析】a，b均为正数，1，ab(ab)5529.当且仅当b2a，即a3，b6时取等号abc恒成立的实数c的取值范围是(，9)7已知x0，y0.(1)若2x5y20，求ulg xl
3、g y的最大值；(2)若lg xlg y2，求5x2y的最小值【解析】(1)x0，y0，由基本不等式，得2x5y22.又2x5y20，202，xy10，当且仅当2x5y时，等号成立当x5，y2时，xy有最大值10.这样ulg xlg ylg(xy)lg 101.当x5，y2时，umax1.(2)由已知，得xy100，5x2y2220.当且仅当5x2y10，即当x2，y5时，等号成立5x2y的最小值为20.8已知直角三角形两条直角边长的和等于10 cm，求面积最大时斜边的长【解析】设一条直角边长为x cm，(0x10)，则另一条直角边长为(10x)cm，面积Sx(10x)2(cm2)，等号在x1
4、0x即x5时成立，面积最大时斜边长L5(cm)【能力提升】9设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0.则当取得最大值时，的最大值为()A0B1CD3【答案】B【解析】1，当且仅当x2y时等号成立，此时z2y2，211，当且仅当y1时等号成立故所求的最大值为1.10若对任意正数x，不等式恒成立，则实数a的最小值为()A1BCD【答案】C【解析】由题意可得a恒成立由于(当且仅当x1时，取等号)，故的最大值为，a，即a得最小值为.故选C11(2019年山东潍坊模拟)已知a，b为正实数，直线xya0与圆(xb)2(y1)22相切，则的最小值是()A4B5C6D7【答案】A【解析】xya0与圆(xb)
5、2(y1)22相切，d，ab12，即ab1.2a2224，当且仅当2a，即a时等号成立的最小值为4.12已知正数x，y满足x2y2，则的最小值为_【答案】9【解析】因为x，y为正数，且x2y2，所以5259，当且仅当x4y时，等号成立，所以的最小值为9.13(2019年黑龙江齐齐哈尔校级月考)某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考
6、虑利用此优惠条件？请说明理由【解析】(1)设该厂应x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，则面粉的保管等其他费用为36x6(x1)6(x2)619x(x1)设平均每天所支付的总费用为y1元，则y11 80069x10 809210 80910 989，当且仅当9x，即x10时取等号即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少(2)不少于210吨，每天用面粉6吨，至少每隔35天购买一次面粉设该厂利用此优惠条件后，每隔x(x35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2元，则y29x(x1)90061 8000.909x9 729(x35)令f(x)x(x35)，x2x135，则f(x1)f(x2).x2x135，x2x10，x1x20,100x1x20.f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，即f(x)x，当x35时为增函数则当x35时，f(x)有最小值，此时y210 989.该厂应接受此优惠条件
