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1、第4课时导数及其应用1.已知f(x)=x3-92x2+6x-a,若对任意实数x,f(x)m恒成立,则m的最大值为()A.3B.2C.1D.-34解析:f(x)=3x2-9x+6,因为对任意实数x,f(x)m恒成立,即3x2-9x+(6-m)0恒成立,所以=81-12(6-m)0,解得m-34,即m的最大值为-34,故选D.答案:D2.设函数f(x)的定义域为R,x0(x00)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是()A.xR,f(x)f(x0)B.-x0是f(-x)的极小值点C.-x0是-f(x)的极小值点D.-x0是-f(-x)的极小值点解析:f(x)与-f(-x)的图像关于原点对称,故
2、x0(x00)是f(x)的极大值点时,-x0是-f(-x)的极小值点,故选D.答案:D3.若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+)单调递增,则k的取值范围是()A.(-,-2B.(-,-1C.2,+)D.1,+)解析:由f(x)=k-1x,又f(x)在(1,+)上单调递增,则f(x)0在x(1,+)上恒成立,即k1x在x(1,+)上恒成立.又当x(1,+)时,01x0,因此函数f(x)在R上单调递增,且f(-2)=-530,因此函数f(x)零点的个数为1,故选B.答案:B5.若0x1x2ln x2-ln x1B.ex2-ex1x1ex2D.x2ex1x1ex2解析:令f(x)=exx,则
3、f(x)=xex-exx2=ex(x-1)x2.当0x1时,f(x)0,即f(x)在(0,1)上单调递减.0x1x21,f(x2)f(x1),即ex2x2x1ex2,故选C.答案:C6.(2015陕西高考)函数y=xex在其极值点处的切线方程为.解析:令y=(x+1)ex=0,得x=-1,则切点为-1,-1e.函数在极值点处的导数为0,即切线斜率为0,则切线方程为y=-1e.答案:y=-1e7.(2015天津高考)已知函数f(x)=axln x,x(0,+),其中a为实数,f(x)为f(x)的导函数,若f(1)=3,则a的值为.解析:因为f(x)=axlnx,所以f(x)=alnx+ax1x=
4、a(lnx+1).由f(1)=3得a(ln1+1)=3,所以a=3.答案:38.已知函数f(x)=ex(ax2-2x+2),其中a0.(1)若曲线y=f(x)在x=2处的切线与直线x+e2y-1=0垂直,求实数a的值;(2)讨论f(x)的单调性.解f(x)=exax2+(2a-2)x(a0).(1)由题意得f(2)-1e2=-1,解得a=58.(2)令f(x)=0,得x1=0,x2=2-2aa.当0a1时,f(x)的增区间为-,2-2aa,(0,+),减区间为2-2aa,0.9.导学号已知函数f(x)=(4x2+4ax+a2)x,其中a0得x0,25或x(2,+),故函数f(x)的单调递增区间
5、为0,25和(2,+).(2)因为f(x)=(10x+a)(2x+a)2x,a0,由f(x)=0得x=-a10或x=-a2.当x0,-a10时,f(x)单调递增;当x-a10,-a2时,f(x)单调递减;当x-a2,+时,f(x)单调递增,易知f(x)=(2x+a)2x0,且f-a2=0.当-a21时,即-2a0时,f(x)在1,4上的最小值为f(1),由f(1)=4+4a+a2=8,得a=22-2,均不符合题意.当1-a24时,即-8a4时,即a0,f(x)在(0,1)上是增函数;当x(1,+)时,f(x)0,所以b1-1x-lnxx恒成立.令g(x)=1-1x-lnxx,可得g(x)=lnxx2,因此g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,所以g(x)min=g(1)=0,故b的取值范围是(-,0.
