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1、简谐运动问题的常用思路1. 参考圆匀速圆周运动的投影是简谐运动。因此，对于每一个简谐运动，都可以找到一个匀速圆周运动，使其投影的运动情况与这个简谐运动同步。这个圆周运动的轨迹称为简谐运动的“参考圆”。例1. 如图1所示，摆长为L的单摆悬挂于O点，今把摆线向右拉开，使之与竖直线间夹一个小角度后由静止释放，当摆球摆到平衡位置左侧与壁发生弹性碰撞时，摆线与竖直线间的夹角为。若碰撞时间可忽略，则小球释放后经多长时间将再次回到释放点？图1分析：如果没有壁的阻挡，单摆将做最大摆角为的小角度摆动，可近似视为简谐运动，于是其中，振幅与周期分别为。今由于壁的阻挡，摆球的返回点与平衡位置相距。画出与摆球的运动相对
2、应的“参考圆”如图2所示。对应摆球从释放到与壁碰撞的过程，在“参考圆”上做匀速圆周运动的物体从B点运动到C点；对应摆球从碰撞点返回释放点的过程，在“参考圆”上做匀速圆周运动的物体从D点运动到B点。图2中，由此得所求时间为图22. 能量守恒在简谐运动系统中，弹簧具有弹性势能，振动物体具有动能，总机械能保持不变。写出简谐运动系统的能量表达式，与进行比较，求出相应的k和m，即可解答相关问题。例2. 在天花板下用两根长度均为L的轻绳悬挂一块质量为M的光滑木板，板中央有一质量为m的小滑块，如图3所示。开始时系统静止，然后使板有一个水平的纵向小速度，试求系统的振动周期。图3分析：设当绳的摆角为时，木板的速
3、度为v，此时小滑块m只有竖直向上的速度，根据机械能守恒定律可得3. 力的独立作用原理和分运动的独立性原理例3. 如图4，在水平光滑桌面的中心有一光滑小孔O，一劲度系数为k的轻而细的弹性绳穿过小孔，绳的一端固定在地面上的A点，另一端系一质量为m的小球。弹性绳的自然长度为OA，现将小球沿桌面拉到B处（设OB=L），并将小球沿垂直于OB的方向以速度沿桌面抛出。试求：（1）小球绕O点转过到C点所需的时间。（2）小球到达C点时的速度及OC的长度。图4分析：选OB方向为x轴正方向，OC方向为y轴正方向。如图5，设小球运动到某一位置P点，令OP=r，此时弹性绳对小球的拉力大小为，方向指向O。将F分解，则图5
4、由力的独立作用原理和分运动的独立性原理可知，小球的运动可分解为沿x、y方向的同频率的简谐运动，平衡位置均为O点，周期均为。（1）从B点到C点，小球在x方向上的简谐运动经历了的时间，所以。（2）小球到达C点时，在y方向上的速度为零，所以此时的速度就是它在x方向上做简谐运动的最大速度，即设OC=y，根据机械能守恒，可得4. 等效法一般的简谐运动，振动周期为，对于单摆，振动周期可表示为。求振动周期时，常常需要进行等效变换后才能用公式计算。常见的等效有：的等效、l的等效、g的等效及模型的等效四种。例4. 如图6，在水平光滑的导轨上有一质量为M的重物，重物只能沿导轨移动。重物上固定一根不可伸长的轻绳，绳
5、上系有质量为m的小球，试求摆球在平行和垂直于导轨的平面上小振动的周期之比。图6分析：设绳长为l，则当摆球在垂直于导轨的平面上振动时，重物静止不动，摆球的振动周期为当摆球在平行于导轨的平面上振动时，系统质心不动。方程确定了系统质心O的位置，小球到O点的距离为摆球以不动点O为悬点，以为摆长振动，振动周期为关于其它几种等效法，同学们可以查阅相关资料。5. 微元法在平衡位置附近的小振动问题常用微元法求解。当x是小量时，。例5. 如图7所示，在边长为a的正三角形的三个顶点A、B、C分别固定电量为的点电荷，在中心O上放置一个质量为m，电量为的带电质点，O点显然为带电质点的平衡位置。设该质点沿某一中线稍稍偏离平衡位置，试证明它将做简谐运动，并求其振动周期。图7分析：以O为原点，在中线AOD上设置x轴，考虑质点沿x轴做小偏离运动。设偏离量为x小量，A处Q对其作用力记为，B、C处两个Q对其的合力记为，并设质点所受合力为这是一个线性回复力，故质点将做简谐运动。振动周期为
