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1、1.2.3. 1-8镜像法、镜像法定义：是解静电场问题的一种间接方法，它巧妙地应用唯一性定理，使某些看来棘手的 问题很容易地得到解决。该方法是把实际上分区均匀媒质看成是均匀的，对于研究的场 域用闭合边界处虚设的简单的电荷分布，代替实际边界上复杂的电荷分布来进行计算。即镜像法处理问题时不直接去求解电位所满足的泊松方程，而是在不改变求解区域电荷分布及边界条件的前提条件下，用假想的简单电荷分布（称为镜像电荷）来等效地取代 导体面域（电介质分界面）上复杂的感应（半极化）电荷对电位的贡献，从而使问题的 求解过程大为简化。应用镜像法应主意的问题应主意适用的区域，不要弄错。在所求电场区域内：不能引入镜像电荷
2、； 不能改变它的边界条件； 不能改变电介质的分布情况； 在 研究区域外引入镜像电荷，与原给定的电荷一起产生的电荷满足所求解（讨论）的边界 条件；其求得的解只有在所确定的区域内正确且有意义。镜像法的求解范围应用于电场 E和电位的求解；也可应用于计算静电力F ；确定感应电荷的分布、镜像法应用解决的问题一般是边界为平面和球面的情况1.设与一个无限大导电平板（置于地面）相距h远处有一点电荷q，周围介质的介电常数为；，求解其中的电场解：在电介质;中的场E，除点电荷q所引起的场外，还应考虑无限大导电平板上的感应电荷的作用，但其分布不知（因此无法直接求解。用镜像法求解该问题。对于；区域，除q所在点外，都有=
3、0以无限远处为参考点= 0在边界上有：q即边界条件未变。由唯一性定理有q4兀名4兀名r_ 4聴 + r_对于大场E不存在E = 0推广到线电荷的情况，对于无限长线电荷也适合上述方法求解。 例 1-15. P54求空气中一个点电荷 q在地面上引起的感应电荷分布情况。 解：用镜像法求解P点:E-q FE2 r厶 I4 兀 g0r_E = 2q2 cos 二4 二；r卫 r=（x2+h2 y2 rE_ qh匚3r,22.-22二；0 x h感应电荷密度:二，D2n -D1n -；D2n =0 （大地）qh2 二 x2 h2 2点电荷-qhQds32二 xdx =s$022 322兀（x2 +h2 ）
4、例 1-16P55解：用镜像法，如图所示，边界条件=0：01234 = 02.镜像法应用于求解两种不同介质中置于点电荷或电荷时的电场问题。 解：应用镜像法求解区域“如图b，；2如图c设；1中电位为 ，；2中电位为；2满足条件：在；1中除q所在点外，有21 = 0，在；2中 22二0在两种媒质分界面上应有E1t二E2t，D2n -D1n =二 二=0D1n = D2nCOST乞2 cosq2 cos 丁4 二；汀4 2r半sin”亠 sin，4- r4 rIIIIq与q两个镜像电荷来代替边界的极化电荷HHIq -q qd 名2T 1Si + 若q为的线电荷则有：F2， 21 =T3.点电荷对金属
5、面的镜像问题 点电荷与接地金属球的问题 q与-q2的电场中，求电位为零的等位面。qiq24 二；04二；0r2余弦定理 2 2 2d -2Rd cosr22 二 R2 b2 -2Rbcos)q2 r12 R2 d2-2Rdcosvq； r22 R2 b2 -2Rbcosq； R2 b2 jq； R2 d2 i 亠2R q；d -q；b cos)- 0等位面为球面（等位线为圆），所以电位与V无关，即与COST无关，.必有qi2 R2 b2 -q| R2 d2 =0二 iq；d - qfb =0 2R=bd阳Rq2这说明只要满足上式，必有一个半径为 讨论点电荷与接地金属球问题R的球面是零电位的等位
6、面。解：除q点外，I 2即=0 ,没撤除金属球，整个空间充满；，在离球心为b处，b = R2 d， R L用一个负电荷q = R取代。对于rR （金属球外）的电场可用q和q两点来计算。边界d条件 r 二 R,=0未变， 2= 0-W =亠 + p r 4二讥 4二；rqq 对于金属球不接地，原来又不带电荷，则必须同时考虑正负两部分电荷的作用，此时用镜像法，在球外区域计算电场，应是三部分电荷共同作用:R心b处）和q（ qq ,在球心）dq q q 若求带电q，则应是4部分电荷作用。Rq、q （ qq，距球d 1-9部分电容一、电容1. 定义：由两个导体组成电容器，即由两个导体组成的独立系统电容C
7、oQC单位法拉。U由它的电极的几何形状、尺寸相互位置及导体间的介质有关，与带电情况无关。其实际表明的是两导体间介质的性质。公式q = cu与二二;E是相互对应的。2. 几种常用电容器电容的计算 孤立导体的电容c=q,实质上是该导体与无限远处另一导体的电容u=F-oo 无限长同轴导体圆柱面电容C =2,a、b分别为内外圆柱导体的半径。ln ba 同心球面导体间的电容4 昭 oabC =0b a孤立导体球的电容 c = 4二；oa二线传输线每单位长度电容二；0b - h -aW WC审a3. 部分电容实际工作中，常遇到三个或更多导体组成的系统。在多个导体中一个导体在其他导体的 影响下，与另一导体构
8、成的电容只能引入部分电容的概念的描述。 定义：在由三个及三个以上带电导体组成的系统，任意两个导体之间的电压不仅要受到 它的自身电荷还要受到其余导体上电荷的影响，这时系统中导体间的电压与导体电荷关系一般不能仅用一个电容来表示，要用部分电容来描述。静止独立系统：一个系统，其中电场的分布只与系统内各带电体的形状、尺寸、相对位置及电介质分布有关， 而和系统外的带电体无关， 并且所有电通量密度 D全部从系统内带电体发出，也全部终止于系统内的带电体上。例对于n1个导体构成静电独立系统，令导体从0顺序编号，则qo q 川 qn =0若系统中电介质是线性的，设0号导体为参考导体，则其余导体与0号导体之间的电压
9、为：Ug =Giiqi +c(i2q2 +il|+Qikqk +|)+ainqnUk0+C(k2q2 +ill+Gkkqk + 川 Eknqn = U = R q+Un0 hniqi *n2q2 川： nkql * inQn:i -电位系数:ii -自有电位系数互有电位系数的性质： 0： r i = j- ij只与导体的几何形状、大小、尺寸、相互位置及电介质有关。二.IqM- WU - ： ： J1 -静电感应系数ii -自有感应系数-ij i j -互有感应系数，1也只与导体形状、尺寸等有关。1的性质：j i = j Yor jqi = PiiU i0 + Pi2U 20 + i 11 *
10、卩ikU k0 + 川 * PinU n0+rqk 二 kiUi k2U 20 J IkkU k0 I)I - knU n0+.qn = niU i0 - n2U 20 I I- nkU k0 J I- nnU n0-q Ji。320 川kUk0 川-knU n0=-ki Uk0 -Ui0 卩k2 Uk0 -U20一：kk Uk0 -Uk0 1)1 : kn Uk0 一Un0 厂卩ki，：k2 I H ： kk Hkn U k0一 dUki 一、2Uk2 ll k2 lkk 川 Jn Uk0lHknUkn令 Ck-ki，Ck-k2，Ck-kn，Ck= k2 川k HInlq I - C 1U
11、1Ck0 自有部分电容，即各导体与0号导体之间的电容5 / i2Gj互有部分电容，相应两导体之间的部分电容。都是正的，Ckn =Cnk =-hn2共有cn1=n(n 1)个部分电容w 2!2例 1-18. P65.解：用镜像法q与-q1 ； q2与- q2构成两队电轴，由电轴法求空间p点电位。设电轴与几何轴重合，b = h%=亠in组+丄lnD则:2兀唧Rj 2兀唧 dSo-亠lnD亠in坐2验0I d 2兀名0IR2：12?22U = Aq = q = BU = q = CU：1 ：12 $0 二：22-1C|2 = C21 = - 12 Go 1-10静电能量与力一、定义引入：从所学的机械
12、能，我们知道很多力学问题由于从能量角度出发而使问题求解大为简化。 因此在研究带电体系统的力学关系时，通过能量来分析是有利的。对于一种电荷分布，存在着与之相关联的力系统，也就有与之相关联的能量储存在系统中，一个带电体系统的能量比照力学系统来分，可分为位能和动能两部分。在静电场中，由于v = 0，所以这一系统的能量完全以位能形式存在。1. 静电能量：由于电荷的相互作用而引起的位能称为静电能量，其计算为任意电荷分布下的静电能量可以根据在实现这种分布的过程中，由于反抗电荷之间的库仑作用力所需要作的功来计算。二、静电能量的计算静电场的能量定域在静电场中。它是在建立电场过程中由外源作功转化而来的。1.电荷
13、作任意分布时的静电能量 we电荷之间有相互作用力，移动电荷时，电场力要作功，说明电场内储存有能量。或者说要形成一个带电体系，形成一个电场，外力要对电荷作功，这个功就转换为电场的能量，储存在电场中，即静电能量是分布在静电场之中的。推导：设电荷的体密度为 ，面密度为匚，假设系统中的介质 ；是线性的。设带电导体已充电到这种程度，场中某一特定点的电位是;:x,y,z，再引入电荷增量dq置于该点时，需要作功为dA = dq二dq因此全部静电能量可通过积分可得，A二-dq由于介质是线性德尔，所以要达到最后的分布需要作的功是一定的，与如何实现这一 分布的过程无关。因此，我们可以选择这样一种充电模式，即在任何时刻使所以带电体的电荷密度都按 同一比例增长，令此比例比值为m,且0乞m叮，这样任意时刻，电荷密度增量为d 3二d ： Tdm是最终的体电荷密度- d m - dmc是最终的面电荷密度总静电能量为：ii池=dq 亠 I dv 二 i dm I ：心 dv 亠 i dm 丨门 dse vs0v0sT 与dq是线性的，所以 =m1 1 1 1wTdm 怖呗 + 丄 dm j Eds =2 严dv +? 0ds0-v 若系统中只有带电导体
