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1、第9章课后习题详解 重积分内容概要名称主要内容二重积分定义性质 计算法利用直角坐标计算把D写成X型区域把D写成Y型区域利用极坐标计算三重积分利用直角坐标计算投影法(针刺法、先一后二法)截面法(切片法、先二后一法)利用柱面坐标计算利用球面坐标计算应用求立体的体积、求曲面的面积、求质量、重心、转动惯量等 课后习题全解习题9-11.设有一平面薄板（不计其厚度），占有面上的闭区域，薄板上分布着面密度为的电荷，且在上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷.解：将任意分割成个小区域，在第个小区域上任取一点，由于在上连续和很小，所以用作为上各点函数值的近似值，则上的电荷从而该板上的全部电荷其中是各中的最大直
2、径。2.利用二重积分定义证明：（1）（为区域的面积）；（2）（其中为常数）；（3），其中, 为两个无公共内点的闭区域。证明：（1）这里，被积函数，由二重积分的定义，对任意分割和取点法，其中是各中的最大直径。 （2）（3）将任意分割成个小区域，是其各小区域的最大直径，将任意分割成个小区域，有类似的意义。记，于是对应区域就分成了个区域，当时，有且，因为, 无公共内点，将以上分割反过来处理：先将分割为个区域，此分割在上的部分为，个小区域。于是当在上可积时，便可如下推出在上可积（或反过来也一样），且有3.判断积分的符号解：由于，所以，且当时，于是4.判断下列积分值的大小：，其中由，围成，则之间的大小顺
3、序为（ ）A. B. C. D. 解：因为被比较积分的积分区域相同，故可从被积函数来判断，在区域上，当时，从而当时，其中的只有在边界处才可能取到所以，故应选C.5.估计下列二重积分的值：（1）,其中是矩形闭区域，；（2）,其中是圆形闭区域；解：（1），（2）圆形闭区域的面积为，在中，即，即6.试用二重积分性质证明不等式，其中：，.证明：当时，由重积分的性质即得，证毕。7.计算，其中由中心在原点，半径为的圆所围成。解： 在上连续，由二重积分的中值定理知，在内至少存在一点，使得，于是有1习题9-21.计算下列二重积分：(1) ，其中：，;(2) ，其中闭区域由坐标轴与所围成;(3)，其中：，;(4
4、) ，其中：，.解：(1) =而，所求(2)积分区域：， 所求(3) =1(4) =+其中=所求2.画出积分区域，并计算下列二重积分：(1)，其中:(2) ，其中是由，所围成的区域(3) ，其中是以，为顶点的三角形闭区域(4) ，其中是由，所围成的区域解：(1)所求= =(2)所求=(3)所求=(4)所求(和书上答案不一样)3.改变下列二次积分的积分次序：(1);(2) ;(3) ;(4) ;(5) 解：(1)原式(2)由二次积分的积分限有，改变积分次序后积分限为，所以，原式(3)积分区域D：，可改写为，所以，原式(4)由二次积分的积分限，画出积分区域可改写为 所以，原式(5)由二次积分的积分
5、限画出积分区域知原式4. 设是由不等式所确定的有界闭区域，求二重积分解：由对称性0+所以5.求证证明：画出积分区域知左边6.如果二重积分的被积函数是两个函数和的乘积，即，积分区域，证明证明：7.设平面薄片所占的闭区域由直线，和轴所围成，它的面密度，求该薄片的质量。解：设该薄片的质量为,则质量元素8.求曲线所围成的平面图形的面积。该曲线所围成的区域为:，故所求面积令，则， 00=9.用二重积分表示由曲面，所围成的立体的体积。解：将所围立体视为以平面为顶，以面上的圆为底的曲顶柱体，根据二重积分的几何意义，所求的体积为10.求由曲面，所围成的立体的体积。解：由于所围立体的底部为区域:，顶部是旋转抛物
6、面，所以所求体积11.求由曲面和所围成的立体的体积。解：该立体的上顶面为，下顶面为两曲面的交线为，故交线所围平面区域为平面上的圆域，令，则， 00=习题9-31.化二重积分为极坐标形式的二次积分，其中积分区域为（1） （2） （3）解：（1）积分区域为圆域，故 （2）积分区域为环域，故（3）积分区域为圆心在，半径为1的圆域，故2.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分（1） （2） （3）解：（1）画出积分区域草图知（2）（3）3.利用极坐标计算下列二重积分：（1），其中是由所围成的闭区域。（2），其中是由与轴所围成的上半部分闭区域。（3），其中是由圆周与坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域。（4
7、），其中是由，所围成的在第一象限内的闭区域。解：（1）（2）画出积分区域的草图知：，上半圆的极坐标方程为，所以所求（3）所求（4）经极坐标变换，边界曲线方程为，故所求4.选用适当的坐标计算下列各题：（1），其中是由与所围成的闭区域。（2），其中是由圆周，及所围成的闭区域。（3），其中：，（4），其中是由圆周与坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域。（5），其中：，解：（1）利用极坐标计算。抛物线的极坐标方程为即，所求（2）本题用直角坐标计算比较简单。积分区域可表示为，故所求（3）画出积分区域的草图，采用极坐标计算，可表示为，故所求（4）画出积分区域的草图，采用极坐标计算，可表示为，故所求令，则，
8、0101所求（5）画出积分区域的草图，采用极坐标计算，所求5.求区域的体积,其中由，所围成。解：注意到曲面在第一、三象限时位于面的上方，在第二、四象限时位于面的下方。曲面在面上的投影区域为：，故所求体积为6.求球体与所围公共部分的体积。解：因为两球面的交线为，所以两球体公共部分在面上的投影区域为：，故=7.设均匀薄片所占的闭区域由，所围成，求此薄片的重心。解：不妨设该薄片的面密度为1，则该薄片的质量=静矩=重心坐标，即重心在点8.设半径为1的半圆形薄片上各点处的面密度等于该点到圆心的距离，求此半圆的重心坐标及关于轴（直径边）的转动惯量。解：依题意，面密度。由对称性知，重心必在轴，即，故只需计算
9、。=。所以即重心坐标为对于轴的转动惯量为=。9.设均匀薄片（面密度为常数1）所占闭区域由抛物线与直线所围成，求和解：=10.设有一由，及所围成的均匀薄片（密度为1），问此薄片绕哪一条垂直于轴的直线旋转时转动惯量最小？解：令0，得由于所以当时最小。11.计算，其中为椭圆形闭区域：解：作广义极坐标变换，则被积函数。区域：化为，即:，而=所以，原式12.计算解：由对称性知,所以，原式作变换则1由对称性知所以，所求13.计算重积分，其中是由直线，和所围成。解：作变换，则被积函数。区域化为：，而=所以，原式14.进行适当的变量代换，化二重积分为单积分，其中为由曲线，所围成的闭区域。解：作变换，则，化为：
10、，而=所以，所求15.作适当的变换，证明等式，其中闭区域:解：画出积分区域的草图，并结合被积函数的形式，作变换，即，区域化为：，而=，所以所求习题9-41.化三重积分为三次积分，其中积分区域分别是：（1） 由，所围成的闭区域；（2） 由六个平面，所围成的闭区域；（3） 由曲面及所围成的闭区域。解：（1）想像的形状，可把表示为，所以，（2）画出积分区域的草图，可知区域介于平面与之间，且，在面上的投影区域为：，所以（3）不难求得两曲面的交线在面上的投影为，在面上的投影区域为：，所以2.设有一物体，占有空间闭区域：，在点处的密度为，计算该物体的质量。解：该物体的质量=183.设积分区域：，证明：证明
11、：左边右边4.计算，其中是由曲面，所围成的区域。解：根据题意，积分区域可表示为：，所以5.计算，其中是由，和所围成的四面体。解：在面上的投影区域为：，于是所求6.计算，其中是由，所围成的区域。解：由消去，得，区域可分成两个区域和，：，；：，。所求+(和书上答案不一样)7.计算，其中：解：被积函数仅为的函数，截面为圆域：，故采用“先二后一”法8.设在上可积，试证，其中是由球面围成的空间闭区域。解：（法一）直接在空间直角坐标系中计算（法二）将球域分割成许多平行于面的小薄片，设第片的竖坐标为，厚度为，该片在面上的投影区域记为，在极坐标系下计算该三重积分：9.计算，其中为圆绕轴旋转一周所生成的空间环形
12、闭区域。解：所求习题9-51.利用柱面坐标计算三重积分，其中积分区域由曲面及所围成（在抛物面内的那一部分）解：画出积分区域的草图，经柱面坐标变换，上曲面方程为，即，下曲面方程为，即。故：， 2.利用柱面坐标计算三重积分，其中积分区域由曲面及所围成的闭区域。解：和的交线是平面上的圆，故在面上的投影区域为：，利用柱坐标得所求3.利用球面坐标计算三重积分，其中由所围成的闭区域。解：在面上的投影区域为：，利用球面坐标得所求4.利用球面坐标计算三重积分，其中：，解：画出积分区域的草图，：，所求5.计算，其中由柱面及平面，所围成的在第一卦限内的闭区域。解：易知宜采用柱面坐标计算，在面上的投影为位于第一卦限的个单位圆，于是，所求6.计算，其中由平面，与圆柱面所围成的闭区域。解：在面上的投影为:,而当时，易证所以平面位于平面的上方，采用柱坐标，7.，其中
