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1、2022届高三数学上学期期中试题 理 (II)考试说明:试卷分第I卷(选择题)和第卷(非选择题),满分150分,考试时间120分钟一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,每小题只有一个选项符合要求)1.若复数(其中为虚数单位),则( )A B C D 2.已知集合,那么( ) A. B. C. D. 3.若递增的等比数列满足,则( )A.6 B.8 C.10 D.124.若,则下列说法正确的是( ) A.若则 B.若则C.若则 D.若则 5.已知向量,且,则( ) A.4 B.2 C. D.6.已知函数的部分图象如图所示,将的图象向左平移个单位,则得到的新函数图象的解析式为( )
2、 A. B. C. D.7.我国古代数学专著九章算术中有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里,驽马初日行九十七里,日减半里,良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢,则需( )日两马相逢A.16 B. 12 C.9 D.88.设且,则的最小值是( )A. B. C. D.9.如图是xx上半年某五省情况图,则下列叙述正确的是( )与去年同期相比,xx上半年五个省的总量均实现了增长; xx上半年山东的总量和增速均居第二;xx同期浙江的总量高于河南;xx和xx上半年辽宁的总量均位列第五.A. B. C. D. 10.正项数列前项和为,且()成等差数列
3、,为数列的前项和,且,对任意总有,则的最小值为( )A.1 B.2 C.3 D.4 11.若函数的最大值为,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.12.已知单位向量满足:向量 (),则的最小值为( ) A. B. C. D.第卷(非选择题,共90分)二、填空题:(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,各题答案必须填写在答题卡上相应位置)13.已知向量的夹角为,且,则 14.已知函数是定义在实数集上周期为2的奇函数,当时,则 15.已知三内角的对边分别为,且,若成等比数列,则= 16.为庆祝党的十九大的胜利召开,小南同学用数字1和9构成数列,满足:,在第个1和第个1之间有个9,即1,9
4、,1,9,9,9,1,9,9,9,9,9,设数列的前项和为,若,则 三、解答题:(本大题共6个小题,共70分)各题解答必须答在答题卡上(必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程)17.(本小题满分12分)设等差数列的前项和为,公差,且成等比数列.()求数列的通项公式; ()设,求数列的前项和.18.(本小题满分12分)甲、乙两所学校的代表队参加诗词大赛,在比赛第二阶段,两队各剩最后两个队员上场,甲队两名队员通过第二阶段比赛的概率分别是和,乙队两名队员通过第二阶段比赛的概率都是,通过了第二阶段比赛的队员,才能进入第三阶段比赛(若某队两个队员都没有通过第二阶段的比赛,则该队进入第三阶段比赛的人数
5、为0),所有参赛队员比赛互不影响,其过程、结果都是彼此独立的.()求甲、乙两队进入第三阶段比赛的人数相等的概率;()设表示进入第三阶段比赛甲、乙两队人数差的绝对值,求的分布列和数学期望.19.(本小题满分12分)已知向量,设()若,求的所有取值;()已知锐角三内角所对的边分别为,若,求的取值范围.20.(本小题满分12分)设椭圆,以短轴为直径的圆面积为,椭圆上的点到左焦点的最小距离是,为坐标原点.()求椭圆和圆的方程;()如图,为椭圆的左右顶点,分别为圆和椭圆上的点,且轴,若直线分别交轴于两点(分别位于轴的左、右两侧).求证:,并求当时直线的方程.21.(本小题满分12分)已知函数.()若,求
6、在处的切线方程;()若对任意均有恒成立,求实数的取值范围;()求证:.请从下面所给的22、23两题中选定一题作答,并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分。22.(本小题满分10分)选修4-4 坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,直线,曲线为参数,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系.()求曲线的极坐标方程;()若曲线的极坐标方程为,且曲线分别交于两点,求的最大值.23.(本小题满分10分)选修4-5 不等式选讲已知函数.()求不等式的解集;()若不等式解集非空,求实数的取值范围.重庆南开中学高xx级高
7、三半期考试 数学试题(理科)参考答案1-12: 13. 14. 1 15. 16.24217.解:(1)由已知得(2),18.解:(1)用分别表示甲、乙两队通过第二阶段比赛的人数,的可能取值都是,则,设第三阶段比赛,甲、乙两队人数相等为事件,则(2)根据题意,随机变量的所有可能取值为,由(1)知,则,所以的分布列是:19. 解:(1)由得,为所求的取值。(2)由余弦定理和可得,又由正弦定理得:,又,得或(舍)故,由于锐角故有,所以20. 设椭圆,以短轴为直径的圆面积为,椭圆上的点到左焦点的最小距离是,为坐标原点.(1)求椭圆和圆的方程;(2)如图,为椭圆的左右顶点,分别为圆和椭圆上的点,且轴,
8、若直线分别交轴于两点(分别位于轴的两侧).求证:,并求当时直线的方程.解:(1)由题意知,故所求椭圆方程为,圆(2)设,直线(易知斜率存在且不为0)将直线与联立得:,即所以直线的斜率为,从而的方程为所以,设,则所以故此时,当时,可得或者,故或者,所以直线的方程为或者或者21. 已知函数.(1)若,求在处的切线方程;(2)若对任意均有恒成立,求的取值范围;(3)求证:.解:(1)当时且,所以在处的切线方程为(2)由,考查,故当时,在恒成立,所以,即在单调递减,故符合题意;当时,使得,即当时不符合题意。故所求实数的取值范围是(3)由(2)知当时,则易知时即,即,令可得:从而取并相加可得:,故原不等式得证。22. 解:(1),所以的极坐标方程为曲线为参数的直角坐标方程为:,所以的极坐标方程为(2)设,且,当即时,的最大值为23. 解:(1)(2)因为,当且仅当时取等故不等式解集非空,等价于或