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1、空间中的平行关系【知识要点】1、平面的基本性质基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。（判定直线是否在平面内的依据）基本性质2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。（判定两个平面交于一条直线的依据；证明点共线：证明点在直线上）推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面，即ab =pa ，b确定一个平面推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面，即a/ba，b确定一个平面（性质2及其三个推论是确定平面
2、的具体位置及判定两个平面重合的依据）注意：(1)集合符号与几何术语表示：Al （A在直线l上）； A（A在平面a内）；l a （直线l在平面a内）； l a （l不在a内）(2)有且仅有一个确定一个存在性，唯一性(3)性质及推论应用：证点共线：证点是两平面的公共点(基本性质3)；证线共点：证两直线交点在第三条直线上；证线共面：先确定平面，然后证第三条直线上的两点在平面a内(基本性质1)2、空间两条直线的位置关系位置关系图 示表示方法公共点个数 两直线共面相 交一个平行ab没有异面a、b是异面直线没有3、异面直线（不同在任何一个平面内的两条直线）画法： 异面直线判定：用定义（多用反证法）；判定定
3、理：平面内一点和平面外一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线。4、基本性质4、平行于同一条直线的两条直线互相平行。5、定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等。6、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。（ab，a，ba）7、直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。（a，a，=bab；即“线面平行，则线线平行”）8、两平面的位置关系：平行：没有公共点；相交：至少有一个公共点，必有一条公共直线，公共点都在公共直线上（
4、相交包括垂直相交和斜交）9、两平面平行的判定：（1）定义：没有公共点的两个平面平行（常用于反证）（2）判定定理：若一个平面内的两条相交直线平行于另一平面，则这两个平面平行（线线平行得线面平行）（3）垂直于同一条直线的两个平面平行（4）平行于同一个平面的两个平面平行（5）过已知平面外一点作这个平面的平行平面有且只有一个10、两平面平行的性质：（1）两个平行平面没有公共点（定义法）（2）若一个平面与两个平行平面都相交，则两交线平行（面面平行得线线平行） （3）两个平行平面中的一个平面内的所有直线平行于另一个平面（面面平行得线面平行）（4）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，必垂直于另一个平面（
5、用来判定直线与平面垂直）一般地，一条直线与两个平行平面所成的角相等，但反之不然（5）夹在两个平行平面间的平行线段相等特别地，两个平行平面间的距离处处相等思维方式: 熟悉线线平行线面平行面面平行的思路即找（或作）线、面的平行关系【典型例题】例1、考察下列三个命题，是否需要在“ ”处添加一个条件，才能构成真命题（其中l，m为直线，、为平面）？如需要，请填这个条件，如不需要，请把“ ”划掉。 解：；。例2、如图：两条线段AB、CD所在的直线是异面直线，平面，M，N分别是AC，BD的中点，且AC是AB、CD的公垂线段。求证：（1），（2）若AB=CD=，AC=，BD=，求线段MN的长。（1）证明：过作
6、，垂足为，连结，设为的中点，连结，则且，又四边形为平行四边形（矩形），又，（2）解：由（）知， ，即线段MN的长为例3、如图，四面体ABCD中，E、分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF：FC=2：3，DH：HA=2：3，求证：EF、GH、BD交于一点证明：连结GE、HF，则GEAC，又DF：FC=2：3，DH：HA=2：3 HFAC，GEHF，故G、E、F、H四点共面。又EF与GH不能平行，EF与GH相交，设交点为O，则O面ABD，O面BCD，而平面ABD平面BCD=BD，EF、GH、BD交于一点例4、两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB，且
7、AM=FN，求证：MN平面BCE。知识依托：解决本题的关键在于找出平面内的一条直线和该平面外的一条直线平行，即线（内）线（外）线（外）平面。或转化为证两个平面平行。错解分析：证法二中要证线面平行，通过转化证两个平面平行，正确地找出MN所在平面是一个关键。技巧与方法：证法一利用线面平行的判定来证明 证法二采用转化思想，通过证面面平行来证线面平行。证法一：作MPBC，NQBE，P、Q为垂足，则MPAB，NQABMPNQ，又AM=NF，AC=BF，MC=NB，MCP=NBQ=45RtMCPRtNBQMP=NQ，故四边形MPQN为平行四边形MNPQPQ平面BCE，MN在平面BCE外，MN平面BCE 证
8、法二：如图过M作MHAB于H，则MHBC，连结NH，由BF=AC，FN=AM，得 NH/AF/BE由MH/BC， NH/BE得:平面MNH/平面BCEMN平面BCE主要数学思想方法1、直线与平面平行的判定定理及性质定理的实质是线线平行与线面平行的转化，性质定理将线面平行关系转化为线线平行关系，而判定定理正好相反，体现了平面与空间的对立统一关系。2、熟悉线线平行线面平行面面平行的思路即找或作线、面的平行关系3、在判定两平面平行的时候，两条直线必须是相交直线，而且要把条件写清楚，防止由一个平面内的两相交线平行于另一平面内的两相交线，就断定两个平面平行的情况测试题参考时间：60分钟一、选择题1、已知
9、E，F，G，H是空间的四个点。命题甲：点E，F，G，H 不共面；命题乙：点E，F，G，H 中任何三点不共线。那么甲是乙成立的( )条件。(A)充分非必要 (B)必要非充分 (C)充要 (D)非充分非必要2、下列命题中正确的一个是（ ）（A）若a与b是异面直线，b与c也是异面直线，则a与c也是异面直线 （B）已知异面直线a，b，两条直线c，d分别与a，b都相交， 则c，d也是异面直线（C）四个角都是直角的四边形一定是矩形（D）两条异面直线可能没有公垂线3、关于异面直线a，b，下述命题中不正确的一个是（ ）（A）过直线a有且只有一个平面平行于b（B）过直线a有且只有一个平面垂直于b（C）存在分别经
10、过直线a与b的两个互相平行的平面（D）存在分别经过直线a与b的两个互相垂直的平面4、已知直线、和平面，那么的一个必要不充分的条件是 （ ）， ，且 、与成等角 5、对于空间三条直线，有下列四个条件：三条直线两两相交且不共点；三条直线两两平行；三条直线共点；有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交其中，使三条直线共面的充分条件有 （ ）1个 2个 3个 4个*6、已知平面平面，是外一点，过点的直线与分别交于点，过点的直线与分别交于点，且，则的长为（ ） 或 二、填空题*7、空间内五个点中的任意三点都不共线，由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥，则这五个点最多可以确定 个平面 8、平面外有两条直
11、线和，如果和在平面内的射影分别是和，给出下列四个命题：； ；与相交与相交或重合； 与平行与平行或重合；其中不正确的命题个数是 个。*9、一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 。三、解答题10、如图，设a，b是异面直线，AB是a，b的公垂线，过AB的中点O作平面与a，b分别平行，M，N分别是a，b上的任意两点，MN与交于点P，求证P是MN的中点.*11、如图，已知平面，且位于与之间，点A，D，C，F，AC=B，DF=E（1）求证：；（2）设AF交于，AC与DF为异面直线，与间的距离为h，与间的距离为h，当的值是多少的时候，的面积最
12、大？12、a和b是两条异面直线，求证：存在分别过a和b的平面和使得；【参考答案】1、A2、C3、B4、5、6、7、78、49、10、证明:连接AN，交平面于点Q，连PQ，b，b平面ABN，平面ABN=OQ，bOQ，又O为AB的中点，Q为AN的中点。a，a平面AMN且平面AMN=PQ，aPQ。P为MN的中点。11、（1）证明：连结BM，EM，BE，平面ACF分别交，于BM，CF，所以BMCF，同理，（2）解：由（）知BMCF，同理由题意知，AD与CF是异面直线，故CF，AD是常量，sinBME是AD与CF所成的角的正弦值，也是常量，令只要考察函数y=x（1x）的最值即可，显然当时，即时，y=x（1x）有最大值所以当时，即在，两平面的中间时的面积最大12、证明：在直线上取一点，过作，在直线上取一点，过作，设确定一个平面，确定一个平面，同理，又，。因此，存在分别过和的平面和使得。
