《2013届高三数学二轮复习 必考问题专项突破16 椭圆、双曲线、抛物线 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013届高三数学二轮复习 必考问题专项突破16 椭圆、双曲线、抛物线 理（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、16椭圆、双曲线、抛物线1(2012福建)已知双曲线1的右焦点与抛物线y212x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()A. B4 C3 D5答案： A易求得抛物线y212x的焦点为(3,0)，故双曲线1的右焦点为(3,0)，即c3，故324b2，b25，双曲线的渐近线方程为yx，双曲线的右焦点到其渐近线的距离为.2(2012新课标全国)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y216x的准线交于A，B两点，|AB|4 ，则C的实轴长为()A. B2 C4 D8答案：C抛物线y216x的准线方程是x4，所以点A(4，2 )在等轴双曲线C；x2y2a2(a0)上，将点A的坐
2、标代入得a2，所以C的实轴长为4.3(2012山东)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为.双曲线x2y21的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案：D因为椭圆的离心率为，所以e，c2a2，c2a2a2b2，所以b2a2，即a24b2.双曲线的渐近线方程为yx，代入椭圆方程得1，即1，所以x2b2，xb，y2b2，yb，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为，所以四边形的面积为4bbb216，所以b25，所以椭圆方程为1.4(2012北京)在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y24x的焦点F，且与该抛物线相交于
3、A，B两点，其中点A在x轴上方，若直线l的倾斜角为60，则OAF的面积为_解析直线l的方程为y(x1)，即xy1，代入抛物线方程得y2y40，解得yA2 (yB0，舍去)，故OAF的面积为12 .答案圆锥曲线与方程是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有12个选择或者填空题，一个解答题选择或者填空题有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用，主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大；解答题主要是以椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系复习中，一要熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的基础知识、基本方法，在抓住通性通法的同时，要训练利用代数
4、方法解决几何问题的运算技巧二要熟悉圆锥曲线的几何性质，重点掌握直线与圆锥曲线相关问题的基本求解方法与策略，提高运用函数与方程思想，向量与导数的方法来解决问题的能力.必备知识椭圆1(ab0)，点P(x，y)在椭圆上(1)离心率：e；(2)过焦点且垂直于长轴的弦叫通径，其长度为：.双曲线1(a0，b0)，点P(x，y)在双曲线上(1)离心率：e；(2)过焦点且垂直于实轴的弦叫通径，其长度为：.抛物线y22px(p0)，点C(x1，y1)，D(x2，y2)在抛物线上(1)焦半径|CF|x1；(2)过焦点弦长|CD|x1x2x1x2p，|CD|(其中为倾斜角)，；(3)x1x2，y1y2p2；(4)以
5、抛物线上的点为圆心，焦半径为半径的圆必与准线相切，以抛物线焦点弦为直径的圆，必与准线相切必备方法1求圆锥曲线标准方程常用的方法(1)定义法(2)待定系数法顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y22ax或x22ay(a0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a不具有p的几何意义中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为1(m0，n0)双曲线方程可设为1(mn0)这样可以避免讨论和繁琐的计算2求轨迹方程的常用方法(1)直接法：将几何关系直接转化成代数方程(2)定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程(3)代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系(4)交轨法
6、：写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动直线交点的轨迹注意：建系要符合最优化原则；求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式；化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.圆锥曲线的定义是圆锥曲线问题的根本，利用圆锥曲线的定义解题是高考考查圆锥曲线的一个重要命题点，在历年的高考试题中曾多次出现需熟练掌握【例1】 已知椭圆1与双曲线y21的公共焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，则cosF1PF2的值为()A. B. C. D.审题视点 听课记录审题视点 结合椭圆、双曲线的定义及余弦定理可求B因点P在椭圆上又在双曲线上，所以|PF1|PF2|2 ，|
7、PF1|PF2|2 .设|PF1|PF2|，解得|PF1|，|PF2|，由余弦定理得cosF1PF2. 涉及椭圆、双曲线上的点到两焦点的距离问题时，要自觉地运用椭圆、双曲线的定义涉及抛物线上的点到焦点的距离时，常利用定义转化到抛物线的准线的距离【突破训练1】 如图过抛物线y22px(p0)的焦点的直线l依次交抛物线及其准线与点A，B，C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则抛物线的方程是_解析作BMl，AQl，垂足分别为M、Q.则由抛物线定义得，|AQ|AF|3，|BF|BM|.又|BC|2|BF|，所以|BC|2|BM|.由BMAQ得，|AC|2|AQ|6，|CF|3.|NF|CF|.即p
8、.抛物线方程为y23x.答案y23x圆锥曲线的简单几何性质是圆锥曲线的重点内容，主要考查椭圆与双曲线的离心率的求解、双曲线的渐近线方程的求解，难度中档【例2】 (2012东北三省四市教研协作体二次调研)以O为中心，F1，F2为两个焦点的椭圆上存在一点M，满足|2|2|，则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.审题视点 听课记录审题视点 作MNx轴，结合勾股定理可求c，利用椭圆定义可求a.C过M作x轴的垂线，交x轴于N点，则N点坐标为，并设|2|2|2t，根据勾股定理可知，|2|2|2|2，得到ct，而a，则e，故选C. 离心率的范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的不等式，再根据a，b
9、，c的关系消掉b得到关于a，c的不等式，由这个不等式确定e的范围【突破训练2】 设抛物线y22px(p0)的焦点为F，点A(0,2)若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为_解析抛物线的焦点F的坐标为，线段FA的中点B的坐标为代入抛物线方程得12p，解得p，故点B的坐标为，故点B到该抛物线准线的距离为.答案轨迹问题的考查往往与函数、方程、向量、平面几何等知识相融合，着重考查分析问题、解决问题的能力，对逻辑思维能力、运算能力也有一定的要求【例3】 (2011天津)在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)(ab0)为动点，F1，F2分别为椭圆1的左、右焦点已知F1PF2为等腰三角形
10、(1)求椭圆的离心率e；(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足AB2，求点M的轨迹方程审题视点 听课记录审题视点 (1)根据|PF2|F1F2|建立关于a与c的方程式(2)可解出A、B两点坐标(用c表示)，利用2可求解解(1)设F1(c,0)，F2(c,0)(c0)由题意可得|PF2|F1F2|，即2c.整理得2210，得或1(舍)，所以e.(2)由(1)知a2c，bc，可得椭圆方程为3x24y212c2，直线PF2方程为y(xc)A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x28cx0，解得x10，x2c，得方程组的解不妨设A，B.设点M的坐标为(x，y)，则A
11、，B(x，yc)由y(xc)，得cxy.于是A，B(x，x)由题意知AB2，即xx2，化简得18x216xy150.将y代入cxy，得c0，所以x0.因此，点M的轨迹方程是18x216xy150(x0) (1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线，则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解(2)讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应，要注意字母的取值范围【突破训练3】 (2012四川)如图，动点M与两定点A(1,0)、B(2,0)构成MAB，且MBA2MAB.设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设直线y2xm与y轴相交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|P
12、Q|PR|，求的取值范围解(1)设M的坐标为(x，y)，显然有x0，且y0.当MBA90时，点M的坐标为(2，3)当MBA90时，x2，且MBA2MAB，有tanMBA，即，化简可得3x2y230.而点(2，3)在曲线3x2y230上，综上可知，轨迹C的方程为3x2y230(x1)(2)由消去y，可得x24mxm230.(*)由题意，方程(*)有两根且均在(1，)内设f(x)x24mxm23，所以解得m1，且m2.设Q、R的坐标分别为(xQ，yQ)，(xR，yR)，由|PQ|PR|有xR2m，xQ2m.所以1.由m1，且m2，有1174 ，且17.所以的取值范围是(1,7)(7,74 )在高考
13、中，直线与圆锥曲线的位置关系是热点，通常围绕弦长、面积、定点(定值)，范围问题来展开，其中设而不求的思想是处理相交问题的最基本方法，试题难度较大【例4】 已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A，B两点当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为.(1)求a，b的值；(2)C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由审题视点 听课记录审题视点 (1)由直线l的斜率为1过焦点F，原点O到l的距离为可求解；(2)需分直线l的斜率存在或不存在两种情况讨论设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由条件可得P点坐标，结合A、B、P在椭圆上列等式消元求解解(1)设F(c,0)，当l的斜率为1时，其方程为xyc0，O到l的距离为，故，c1.由e，得a，b .(2)C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立由(1)知C的方程为2x23y26.设A(x1，y1)，B(x2，y2)(i)当l不垂直于x轴时，设l的方程为yk(
