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1、第二章 随机变量及其分布基本概念：随机变量、分布律、分布律的性质、二项分布、二项分布的性质、泊松分布、分布函数、分布函数的性质、密度函数、密度函数的性质、指数分布、正态分布、正态分布的性质。（1）离散型随机变量的分布律设离散型随机变量的可能取值为Xk(k=1,2,)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为P(X=xk)=pk，k=1,2,，则称上式为离散型随机变量的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：。显然分布律应满足下列条件：（1）， （2）。（2）分布函数设为随机变量，是任意实数，则函数称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。 可以得到X落入区间的概率。分布函数表示随机
2、变量落入区间（ ，x内的概率。分布函数具有如下性质：1 ；2 是单调不减的函数，即时，有 ；3 ， ；4 ，即是右连续的；5 。对于离散型随机变量，；对于连续型随机变量， 。（3）连续型随机变量的分布密度设是随机变量的分布函数，若存在非负函数，对任意实数，有， 则称为连续型随机变量。称为的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面4个性质：1 。2 。（5）八大分布0-1分布P(X=1)=p, P(X=0)=q二项分布在重贝努里试验中，设事件发生的概率为。事件发生的次数是随机变量，设为，则可能取值为。， 其中，则称随机变量服从参数为，的二项分布。记为。当时，这就是（0-1）分布，所
3、以（0-1）分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量的分布律为，则称随机变量服从参数为的泊松分布，记为或者P()。泊松分布为二项分布的极限分布（np=，n）。超几何分布随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。几何分布，其中p0，q=1-p。随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。均匀分布设随机变量的值只落在a，b内，其密度函数在a，b上为常数，即axb 其他，则称随机变量在a，b上服从均匀分布，记为XU(a，b)。分布函数为 axb 0， xb。当ax1x2b时，X落在区间（）内的概率为。指数分布 ,0, ,其中，则称随机变量X服从参数为的指数分布。X的分布函
4、数为 , x0。 记住积分公式：正态分布设随机变量的密度函数为， ，其中、为常数，则称随机变量服从参数为、的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为。具有如下性质：1 的图形是关于对称的；2 当时，为最大值；若，则的分布函数为。参数、时的正态分布称为标准正态分布，记为，其密度函数记为，分布函数为。是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。(-x)1-(x)且(0)。如果，则。 （6）分位数下分位表：；上分位表：。（7）函数分布离散型已知的分布列为，的分布列（互不相等）如下：，若有某些相等，则应将对应的相加作为的概率。连续型先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)P(g(X)y)
5、，再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。典型例题：1、有1000件产品，其中900件是正品，其余是次品. 现从中每次任取1件，有放回地取5件，试求这5件所含次品数的分布列.2、 设随机变量的分布密度为p（x），求：（1）常数a；（2）P（3）. 3、已知随机变量的分布列为，（1）求2的分布列；（2）求32分布列. 4、设服从N（5，3），求P（10），P（）. 5、 某工厂生产的一批零件，合格率为95%，今从中抽取100件，试求下列事件的概率：（1）被检验的100件中恰好有4件不合格品；（2）不合格的件数不少于4件；（3）不合格的件数在4到6之间. 6、 已知随机变量的分布密度为，且2，
6、试求的分布密度. 7、设随机变量服从（-2，）上的均匀分布，求随机变量的概率密度函数为.2.1 下列给出的是不是某个随机变量的分布列？(1) (2) (3) (4)解 （1）是（2），所以它不是随机变量的分布列。（3）,所以它不是随机变量的分布列。（4）为自然数，且，所以它是随机变量的分布列。2.2 设随机变量的分布列为：，求(1);(2) ； (3) 。解 (1) ;(2) ;(3) .2.3 解 设随机变量的分布列为。求的值。解 ，所以。2.4 随机变量只取正整数，且与成反比，求的分布列。解 根据题意知，其中常数待定。由于，所以，即的分布列为，取正整数。2.5 一个口袋中装有个白球、个黑球
7、，不返回地连续从袋中取球，直到取出黑球时停止。设此时取出了个白球，求的分布列。解 设“”表示前次取出白球，第次取出黑球，则的分布列为：2.6 设某批电子管的合格品率为，不合格品率为，现在对该批电子管进行测试，设第次为首次测到合格品，求的分布列。解 2.7 一个口袋中有5个同样大小的球，编号为1、2、3、4、5，从中同时取出3只球，以表示取出球的取大号码，求的分布列。解 2.8 抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为，设为一直掷到正、反面都出现时所需要的次数，求的分布列。解，其中。2.9 两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中时为止，如果第一名队员投中的概率为0.4,第二名队员投中的概率为0.6，求
8、每名队员投篮次数的分布列。解 设，表示第二名队员的投篮次数，则+；。2.10 设随机变量服从普哇松分布，且，求。解。由于得（不合要求）。所以。2.11 设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的普哇松分布，问在月初进货时应进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.999。解 设为该种商品当月销售数，为该种商品每月进货数，则。查普哇松分布的数值表，得。2.12 如果在时间（分钟）内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与成正比的普哇松分布。已知在一分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内有多于一辆汽车通过的概率。解 设为时间内通过交叉路口的汽车数，则 时，所以；时，因而。2.13 一
9、本500页的书共有500个错误，每个错误等可能地出现在每一页上（每一页的印刷符号超过500个）。试求指定的一页上至少有三个错误的概率。解 在指定的一页上出现某一个错误的概率，因而，至少出现三个错误的概率为 利用普哇松定理求近似值，取，于是上式右端等于214 某厂产品的不合格品率为0.03，现在要把产品装箱，若要以不小于0.9的概率保证每箱中至少有100个合格品，那么每箱至少应装多少个产品？解 设每箱至少装个产品，其中有个次品，则要求,使 ，利用普哇松分布定理求近似值，取，于是上式相当于，查普哇松分布数值表，得。2.24 已知随机变量的分布列为，求与的分布列。解 分布列为，；的分布列为，。2.25 已知离散型随机变量的分布列为，求的分布列。解 , , ,
