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1、专题16 任意角和弧度制及任意角的三角函数（教学案）高考数学（理）一轮复习精品资料1.了解任意角的概念；2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化；3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 1角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)分类(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ2弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角的弧度数公式|(弧长用l表示)角度与弧度的换算1 rad；1 rad弧长公式弧长l|r扇形面积公
2、式Slr|r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做的正弦，记作sin x叫做的余弦，记作cos 叫做的正切，记作tan 各象限符号三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线高频考点一角及其表示例1、(1)已知角的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角用集合可表示为_(2)若角在第三象限，则在第_象限答案(1) (kZ)(2)二或四解析(1)在内与角有相同终边的角_.答案(1)B(2)675或315解析(1)方法一由于Mx|x18045，kZ，45，45，135，225，Nx|x1804
3、5，kZ，45，0，45，90，135，180，225，显然有MN，故选B.方法二由于M中，x18045k9045(2k1)45，2k1是奇数；而N中，x18045k4545(k1)45，k1是整数，因此必有MN，故选B.(2)由终边相同的角关系知k36045，kZ，取k2，1，得675或315.高频考点二弧度制的应用例2、已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l.(1)若60，R10cm，求扇形的弧长l；(2)已知扇形的周长为10cm，面积是4cm2，求扇形的圆心角：(3)若扇形周长为20cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ (3)由已知得，l2R20.所以SlR(202R
4、)R10RR2(R5)225，所以当R5时，S取得最大值25，此时l10，2.【感悟提升】应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形【变式探究】(1)将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是 ()A.B.CD(2)已知扇形的周长为4cm，当它的半径为_cm和圆心角为_弧度时，扇形面积最大答案(1)C(2)12解析(1)将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，故A、B不正确；又因为拨
5、快10分钟，故应转过的角为圆周的.即为2.(2)设扇形圆心角为，半径为r，则2r|r4，|2.S扇形|r22rr2(r1)21，当r1时，(S扇形)max1，此时|2.高频考点三三角函数的概念例3、(1)已知角的终边过点P(8m，6sin30)，且cos，则m的值为()AB.CD.(2)点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为 ()A.B.C.D.答案(1)B(2)A【变式探究】(1)若sin0且tan0，则是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角(2)设是第三象限角，且cos，则是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角答案(1)C(
6、2)B解析(1)sin0，的终边落在第三、四象限或y轴的负半轴上；又tan0，在第一象限或第三象限，故在第三象限(2)由是第三象限角，知为第二或第四象限角，cos，cos0，综上知为第二象限角高频考点四三角函数线例4、满足cos的角的集合为_答案解析作直线x交单位圆于C、D两点，连接OC、OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围，故满足条件的角的集合为.【感悟提升】(1)利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.(2)根据三角函数定义中x、y的符号来确定各象限内三角函数的符号，理解并记忆：
7、“一全正、二正弦、三正切、四余弦”(3)利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性正确写出角的范围【变式探究】(1)已知角的余弦线是单位长度的有向线段，那么角的终边在()Ax轴上By轴上C直线yx上D直线yx上(2)已知角的终边经过点(3a9，a2)，且cos0，sin0，则实数a的取值范围是()A(2,3 B(2,3)C答案(1)A(2)A解析(1)1，角的终边在x轴上(2)cos0，sin0，角的终边落在第二象限或y轴的正半轴上2a3.故选A.高频考点五、数形结合思想在三角函数中的应用例5、(1)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)
8、，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于C(2,1)时， 的坐标为_(2)(20xx合肥调研)函数ylg(34sin2x)的定义域为_解析(1)如图所示，过圆心C作x轴的垂线，垂足为A，过P作x轴的垂线与过C作y轴的垂线交于点B.因为圆心移动的距离为2，所以劣弧2，即圆心角PCA2，则PCB2，所以|PB|sin(2)cos 2，|CB|cos(2)sin 2，所以xP2|CB|2sin 2，yP1|PB|1cos 2，所以(2sin 2,1cos 2)(2)34sin2x0，sin2x，sin x.利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，
9、x(kZ)答案(1)(2sin 2,1cos 2)(2)(kZ)【特别提醒】(1)解决和旋转有关的问题要抓住旋转过程中角的变化，结合弧长公式、三角函数定义寻找关系(2)利用三角函数线解三角不等式要在单位圆中先作出临界情况，然后观察适合条件的角的位置【方法技巧】1在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点|OP|r一定是正值2三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦3在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧【易错点睛】1注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90的角是概念不同的三类角第一类是象限角，第
10、二、第三类是区间角2角度制与弧度制可利用180rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用3已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况1.【20xx高考新课标3理数】在中，边上的高等于,则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C2.【20xx高考新课标2理数】若，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】 ，且，故选D.【20xx高考新课标1，理2】 =( ) （A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】原式= =，故选D.（20xx新课标全国卷 如图11，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终
11、边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则yf(x)在上的图像大致为()图11A BC D【答案】C【解析】根据三角函数的定义，点M(cos x，0)，OPM的面积为|sin xcos x|，在直角三角形OPM中，根据等积关系得点M到直线OP的距离，即f(x)|sin xcos x|sin 2x|，且当x时上述关系也成立， 故函数f(x)的图像为选项C中的图像（20xx四川卷）设sin 2sin ，则tan 2的值是_【答案】 1给出下列四个命题：是第二象限角；是第三象限角；400是第四象限角；315是第一象限角其中正确的命题有()A1个B
12、2个C3个D4个答案C解析是第三象限角，故错误.，从而是第三象限角，正确40036040，从而正确31536045，从而正确2若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角(0，)的弧度数为()A.B.C.D2答案C解析设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以rr，.3已知是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cosx，则x等于()A.BCD答案D解析依题意得cosx0，由此解得x.4若是第三象限角，则下列各式中不成立的是()Asincos0Btansin0Ccostan0Dtansin0答案B解析是第三象限角，sin0，cos0，tan0，则可排除A、C、D，故选B.5给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；若sinsin，则与的终边相同；若cos0，则是第二或第三象限的角其中正确命题的个数是()A1B2C3D4答案A解析举反例：
