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1、二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。 二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式：y=ax+bx+c (a0)。2、顶点式：y=a(xh)+k (a0)， 其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h3、交点式：y=a(xx)(xx) (a0) 其中x,x是抛物线与x轴的交点的横坐标求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设交
2、点式。探究问题，典例指津：例1、已知二次函数的图象经过点和求这个二次函数的解析式分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax+bx+c (a0)。解：设这个二次函数的解析式为y=ax+bx+c (a0)依题意得： 解这个方程组得：这个二次函数的解析式为y=2x+3x4。例2、已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，求这条抛物线的解析式。分析：此题给出抛物线的顶点坐标为，最好抛开题目给出的，重新设顶点式y=a(xh)+k (a0)，其中点(h,k)为顶点。解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x4)1 (a0)又抛物线与轴交于点。a(04)1=3 a=这个二次函数的解析式为y=(
3、x4)1，即y=x2x+3。 例3、如图，已知两点A（8，0），（2，0），以AB为直径的半圆与y轴正半轴交于点C。求经过A、B、C三点的抛物线的解析式。分析：A、B两点实际上是抛物线与x轴的交点，所以可设交点式y=a(xx)(xx) (a0)， 其中x,x是抛物线与x轴的交点的横坐标。解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x+8)(x2)又连结AC、BC，利用射影定理或相交弦定理的推论易得：OC=ACBC=82 OC=4即C(0,4)。a(0+8)(02)=4 a=这个二次函数的解析式为y=(x+8)(x2)，即y=xx+4。变式练习，创新发现1、在图的方格纸上有A、B、C三点（每个小
4、方格的边长为1个单位长度） （l）在给出的直角坐标系中分别写出点A、B、C的坐标； （2）根据你得出的A、B、C三点的坐标，求图象经过这三点的二次函数的解析式2、已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，求这条抛物线的解析式。3、已知抛物线过A（2，0）、B（1，0）、C（0，2）三点。求这条抛物线的解析式。参考答案：1、（1）A(2,3);B(4,1);C(8,9)。 （2）y=x4x+9。2、y=(x2)+1，即y=x4x+5。3、y=(x+2)(x1)，即y=xx+2。十种二次函数解析式求解一三点式。1， 已知抛物线y=ax2+bx+c 经过A（，0），B（，0），C（0，-3）三点，求抛物线
5、的解析式。2， 已知抛物线y=a(x-1)+4 ， 经过点A（2，3），求抛物线的解析式。二顶点式。1， 已知抛物线y=x2-2ax+a2+b 顶点为A（2，1），求抛物线的解析式。2， 已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。三交点式。1， 已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。2， 已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=a(x-2a)(x-b)的解析式。四定点式。1， 在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线经过x 轴上一定点Q，直线经过点Q,求抛物线的解析式。2， 抛
6、物线y= x2 +(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。3， 抛物线y=ax2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。五平移式。1， 把抛物线y= -2x2 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式。2， 抛物线向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式。六距离式。1， 抛物线y=ax2+4ax+1(a0)与x轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。2， 已知抛物线y=m x2+3mx-4m(m0)与 x轴交于A、B两点，与 轴交于C点，且AB=BC,求
7、此抛物线的解析式。七对称轴式。1、 抛物线y=x2-2x+(m2-4m+4)与x轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴距离的2倍，求抛物线的解析式。2、 已知抛物线y=-x2+ax+4, 交x轴于A,B（点A在点B左边）两点，交 y轴于点C,且OB-OA=OC，求此抛物线的解析式。八对称式。1， 平行四边形ABCD对角线AC在x轴上，且A（-10，0），AC=16，D（2，6）。AD交y 轴于E，将三角形ABC沿x 轴折叠，点B到B1的位置，求经过A,B,E三点的抛物线的解析式。2， 求与抛物线y=x2+4x+3关于y轴（或x轴）对称的抛物线的解析式。九切点式。1， 已知直线y=ax-a2(a0) 与抛物线y=mx2 有唯一公共点，求抛物线的解析式。2， 直线y=x+a 与抛物线y=ax2 +k 的唯一公共点A（2，1）,求抛物线的解析式。3， 十判别式式。1、 已知关于X的一元二次方程（m+1）x2+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线y=-x2+(m+1)x+3解析式。2、 已知抛物线y=(a+2)x2-(a+1)x+2a的顶点在x轴上,求抛物线的解析式。3、已知抛物线y=(m+1)x2+(m+2)x+1与x轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。
