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1、二重积分的概念及性质前面我们已经知道了，定积分与曲边梯形的面积有关。下面我们通过曲顶柱体的体积来引出二重积分的 概念，在此我们不作详述，请大家参考有关书籍。二重积分的定义设z=f(x,y)为有界闭区域(。)上的有界函数：(1)把区域(。)任意划分成n个子域(Jk)(k=1,2,3,.,n)，其面积记作0的限容易看出，当f(x,y)0时，二重积分在几何上就是以z=f(x，y)为曲顶，以(。)为底且母线平行于z轴的曲顶柱体的体积。上述就是二重积分的几何意义。如果被积函数f(x,y)在积分区域(。)上连续，那末二重积分必定存在。二重积分的性质(1) .被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去.
2、S(j )(2) .有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和.JJ f 1 Cw) /2 ()力=j7i(%x)力士 口兀()力如果把积分区域(0)分成两个子域(5)与(02)，即(OROJ+G)，那末:JJ7U，加/= f(x,y)dcr+ f(x,y)da-W)冷)S).如果在(o)上有f(x,y)g(x,y),那末：JJ7U才迴贞心巧廿仃 |设f(x,y)在闭域(O)上连续，则在(O)上至少存在一点(,n)，使Jj7o,y)cr=兀仙)9I: 口)其中O是区域(O)的面积.直角坐标系中的计算方法这里我们采取的方法是累次积分法。也就是先把x看成常量，对y进行积分，然后在对x进行
3、积分，或者是先把y看成常量，对x进行积分，然后在对y进行积分。为此我们有积分公式，如下：”严,沁=歳加g巧如訂:吧;防）创两訂;船5沁訂;呦:炸妙 或）在这里我们可能会有这个问题：累次积分的上下限是怎么确定的呢？累次积分上下限的确定方法我们先来对区域作些补充说明：如果经过区域9）内任意一点（即不是区域边界上的点）作平行于y轴（或x轴）的直线，且此直线交9）的边界不超过两点，那末称9）为沿y轴（x轴）方向的正规区域如果（。）即是沿y轴方向也是沿x轴方向的正规区域，那末（。）就称为正规区域下图所示的即为正规区域：关于累次积分上下限的取法如下所述:（1）.如果Q）为沿y轴方向的正规区域，那末二重积分
4、可化为先对y再对x的累次积分其中对y的积分下 限是9）的下部边界曲线所对应的函数y1（x），积分上限是上部边界曲线所对应的函数y2（x）对x的积分下限 与上限分别是9）的最左与最右点的横坐标a与b.如果Q）为沿x轴方向的正规区域，那末二重积分可化为先对x再对y的累次积分其中对x的积分下限 是（。）的左部边界曲线所对应的函数x1（y），积分上限是右部边界曲线所对应的函数x2（y）对y的积分下限与 上限分别是（。）的最低与最高点的横坐标c与d.如果Q）为正规区域，那末累次积分可以交换积分次序。.如果Q）既不是沿y轴方向的正规区域，也不是沿x轴方向的正规区域，那末总可以把它化分成几块沿y轴方向的正规
5、区域或沿 x 轴方向的正规区域,然后根据积分的性质即可求解积分.例题：求二重积分，其中（。）是由7 = IX = 1J = O所围成的区域。解答：因为是正规区域，所以我们可先对y后对x积分，也可先对x后对y积分。这里我们采用前者 先对y后对x积分：极坐标系中的计算法如果二重积分的被积函数和积分区域Q）的边界方程均由极坐标的形式给出，那末我们如何计算呢？下面 我们给出极坐标系中二重积分的计算公式.如果极点o在（。）的外部，区域（。）用不等式表示为R1（e）pR2（e）,aep,则积分公式如下：JJ f S pdpd 6 = r J爲，S EX B如果极点O在9）的内部，区域9）的边界方程为p=R
6、（e）,0e2n,则积分公式如下:如果极点o在9）的边界上，边界方程为p=R（e）,e1ee2,则积分公式如下:召）便便召=f：賈JS保p朋有了上面这些公式，一些在直角坐标系中不易积出而在极坐标系中易积出的函数，我们就可以把它转化 为在极坐标系中的积分即可，反之依然。注：直角坐标与极坐标的转换公式为：x = psin3J= JJE +y2)da-例题：求S，其中(o)是圆环a20,y0,x+y1,如下图红色阴影部分所示：再把Q）域上的二重积分化成先对y后对x的累次积分，得：T Q严郴血如=旷帮| L如柱面坐标系中三重积分的计算法我们先来学习一下空间中的点用极坐标的表示方法。平面上点p可以用极坐标（p,e）来确定，因此空间中的点p可用数组（p,e,z）来表示显然，空间的点p与数组（p,e,z）之间的对应关系是一一对应关系，数组（p,e,z）称为空间点p的柱面坐标它与直角坐标的关系为：x = p sinz = z构成柱面坐标系的三族坐标面分别为：卩=常数：以z轴为对称轴的同轴圆柱面族，8=常数：通过z轴的半平面族，z =常数：与z轴垂直的平面族.因此，每三个这样的坐标面确定着空间的唯一的一点，由于利用了圆柱面，所以称为柱面坐标柱面坐标系下三重积分的计算公式为：此处我们不在举例。
