《新版高考复习方案大二轮全国新课标数学文科高考备考方法策略：专题篇函数 1奇函数与偶函数的性质及其应用 Word版含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新版高考复习方案大二轮全国新课标数学文科高考备考方法策略：专题篇函数 1奇函数与偶函数的性质及其应用 Word版含答案（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 奇函数与偶函数的性质及其应用1 奇函数的性质及其应用奇函数的性质 设是奇函数.(1)若有意义，则；(2)若，则；(3)若函数有最大(小)值，则函数有最小(大)值，且函数的最大值与最小值互为相反数.证明 (1)在恒等式中，令后，可得.(2)可得.(3)这里只证明结论：若函数有最大值，则函数有最小值，且函数的最大值与最小值互为相反数.设函数的定义域是D，得.因为奇函数的定义域D关于原点对称，所以，得，所以函数有最小值(为)，且函数的最大值与最小值互为相反数.题1 (普通高中课程标准实验教科书数学1必修A版(人民教育出版社，第2版)第83页第3(2)题)是否存在实数a使函数为奇函数？解 由奇函
2、数的性质(1)，可得.还可验证：当时，即是奇函数.所以存在实数使函数为奇函数.题2 (高考安徽卷理科第11题)定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个周期，若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为( )A.0 B.1 C.3 D.5解 D.可证.所以由奇函数的性质(1)，可得，得方程在闭区间上有根.题3 若函数是常数)满足，则 .解 .因为函数是奇函数，所以由奇函数的性质(2)，可得.又，所以.题4 函数的最大值与最小值之和为_.解 0.因为可证是奇函数，再由由奇函数的性质(3)，可得答案.题5 函数在-m,m(m0)上的最大值与最小值之和为_.解 2.可得是奇函数，且函数在-m
3、,m(m0)上的最大值、最小值之和是0，所以函数在-m,m(m0)上的最大值与最小值之和为2.题6 已知函数在区间上的值域为，则 .解 4.可证得.设，所以是奇函数，且其在区间上的值域为.由奇函数的性质(3)，可得.题7 若函数的最大值与最小值分别是M,m，则( )A.M-m=4 B.M+m=4 C.M-m=2 D.M+m=2解 D.可得.可得是奇函数，且函数的最大值、最小值分别是.由奇函数的性质(3)，可得.2 偶函数的性质及其应用偶函数的性质 (1)若函数是偶函数，则恒成立；(2)若偶函数f(x)在处可导，则；(3)若偶函数f(x)的定义域是(可得关于原点对称)，是数集的关于原点对称的两个
4、子集，则函数f(x)在数集上的值域相同.证明 (1)当且时，；当且时，.所以欲证结论成立.(2)由题设，可得所以(3)由偶函数f(x)的图象关于y轴对称，立得欲证结论成立.题8 (高考全国新课标卷II理科第15题)已知偶函数f(x)在0，)单调递减，f(2)0，若f(x1)0，则x的取值范围是_解 (1，3).由题设及偶函数性质(1)，可得f(x1)0题9 (高考全国卷II文科第12题)设函数f(x)ln(1|x|)，则使得f(x)f(2x1)成立的x的取值范围是()A. B. C. D.解 A.易知f(x)是偶函数，且当时，f(x)ln(1x)是增函数(因为两个增函数之和是增函数)，所以由性
5、质1，可得f(x)f(2x1)题10 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数a满足，则a的取值范围是( )A.1,2 B. C. D.(0,2解 C.由题设及偶函数性质(1)，可得题11 (高考湖南卷文科第15题)若f(x)ln(e3x1)ax是偶函数，则a_解 .由题设及偶函数性质(2)，可得题12 (高考全国卷I理科第13题)若函数f(x)xln(x)为偶函数，则a_解 1.由题设及偶函数性质(2)，可得题13 (高中数学联赛湖北省预赛高二年级第8题)函数的值域是 .解 .可得函数f(x)的定义域是.由偶函数性质(3)知，所求答案即函数的值域.设，得，由此可得函数是函数值为非负数的减函数.又函数也是函数值为非负数的减函数，所以函数是减函数.所以所求答案即.题14 (高中数学联赛安徽赛区初赛第1题)函数的值域为 .解 .可得函数f(x)的定义域是.由偶函数性质(3)知，所求答案即函数的值域.当时，函数是减函数，得此时的取值范围是.当时，可设，得此时(其中是锐角且，可得)得此时的取值范围是即也即. 所以所求答案即即.题15 (高中数学联赛湖北省预赛高一年级第5题)函数的最小值为 .解 .可得函数y是偶函数且是以为一个周期的正确函数，所以只需求函数y在上的最小值.由偶函数性质(3)知，只需求函数y在上的最小值.当时，.设，得，所以 进而可得所求答案为.
