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1、惠州市2014届高三第一次调研考试数学试题(理科） （本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟）注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小
2、题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合，则 （ ）A. B. C. D.2.复数在复平面上对应的点位于（ ）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知平面向量，且，则向量( )A. B. C. D.4.已知直线与直线平行且与圆：相切,则直线的方程是( ) A. B. 或 C. D. 或5.对于平面、和直线、,下列命题中真命题是( )A.若,则 B.若,则C.若则 D.若,则6.不等式组表示的平面区域的面积是( ) A. B. 0 C. D. 7.已知函数，若过点且与曲线相切的切线方程为，则实数的值是( ) A. B. C.6 D.98.对于任意两个正整数,定义某
3、种运算“”如下:当都为正偶数或正奇数时,=;当中一个为正偶数,另一个为正奇数时,=.则在此定义下,集合中的元素个数是( )A.10个 B.15个 C.16个 D.18个二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分其中1415题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答7 98 6 3 89 3 9 8 8 4 1 510 3 111 49.右图是某高三学生进入高中三年来第次到次的数学考试成绩茎叶图, 根据茎叶图计算数据的中位数为 .10.已知等差数列,满足,则此数列的前项的和 .11.已知直线与直线垂直，则直线的倾斜
4、角 . 12.设是上的奇函数,. 当时有,则 .13.一物体在力(单位：)的作用下沿与力相同的方向,从处运动到 (单位：)处,则力做的功为 焦.14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,圆的圆心到直线 的距离是 .15.（几何证明选讲选做题）如图,为圆直径,切圆于点, , ,则等于 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16.（本小题满分12分）已知函数.(1)求的最大值和最小正周期；(2)若，是第二象限的角，求.17.（本小题满分12分）某社团组织名志愿者利用周末和节假日参加社会公益活动,活动内容是：1、到各社区宣传慰问,倡导文明新风；2、到指定的
5、医院、福利院做义工,帮助那些需要帮助的人.各位志愿者根据各自的实际情况,选择了不同的活动项目,相关的数据如下表所示：宣传慰问义工总计20至40岁111627大于40岁15823总计262450(1) 分层抽样方法在做义工的志愿者中随机抽取6名,年龄大于40岁的应该抽取几名?ABACAEAOA(2) 上述抽取的6名志愿者中任取2名,求选到的志愿者年龄大于40岁的人数的数学期望.18.（本小题满分14分）如图,已知三棱锥的侧棱两两垂直,且,是的中点.(1)求点到面的距离；(2)求二面角的正弦值.19.（本小题满分14分）已知等差数列的公差，它的前项和为，若，且成等比数列.（1） 求数列的通项公式；
6、（2）设数列的前项和为，求证：.20.（本小题满分14分）BOxyF1F2PAM在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点已知为等腰三角形（1）求椭圆的离心率；（2）设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程21.（本小题满分14分）已知二次函数,且不等式的解集为.(1) 方程有两个相等的实根,求的解析式.(2) 的最小值不大于,求实数的取值范围.(3) 如何取值时,函数()存在零点,并求出零点.惠州市2014届高三第一次调研考试数学 (理科）参考答案与评分标准一选择题：共8小题，每小题5分，满分40分题号12345678答案CBADCADB1.【解析】，故，故选C.2
7、.【解析】，所以点（位于第二象限.故选B.3.【解析】,.故选A.4.【解析】圆的圆心为,半径为,因为直线,所以,设直线 的方程为,由题意得或.所以,直线的方程或.故选D.(二） 【解析】对于平面、和直线、,真命题是“若, 则”.故选C6.【解析】不等式组表示的可行域如图所示，故面积为.故选A.7.【解析】设切点为，则 ，又切线l过A、M两点，则 联立、可解得，从而实数的值为故选D.8.【解析】从定义出发,抓住的奇偶性对12实行分拆是解决本题的关键,当同奇偶时,根据=将12分拆两个同奇偶数的和,当一奇一偶时,根据=将12分拆一个奇数与一个偶数的积,再算其组数即可.若同奇偶,有,前面的每种可以交
8、换位置,最后一种只有1个点,这时有;若一奇一偶,有,每种可以交换位置,这时有;共有个.故选B二填空题：共7小题，每小题5分，满分30分其中1415题是选做题，考生只能选做一题994.5 1035 11 （或） 12 1336 14 15 59.【解析】从茎叶图中可知14个数据排序为：79 83 86 88 91 93 94 95 98 98 99 101 103 114中位数为94与95的平均数94.5 .10.【解析】.11.【解析】直线与直线垂直得，.12.【解析】.13.【解析】14.【解析】由得圆为,圆的圆心直线的直角坐标方程为，所以点到直线的距离是.15.【解析】连接,切圆于点,.又
9、，是中点，.三、解答题：16.解(1) 4分 的最大值为2,5分，最小正周期为 6分(2)由(1)知,所以,即 8分又是第二象限的角,所以10分所以 12分17解：(1)若在做义工的志愿者中随机抽取6名,则抽取比例为2分 年龄大于40岁的应该抽取人. 4分 (2)在上述抽取的6名志愿者中任取2名,假设选到年龄大于40岁的人数为, 6名志愿者中有2人的年龄大于40岁,其余4人的年龄在20到40岁之间, 可能的取值为. 5分则, 8分的分布列为10分 的数学期望为 12分18（本小题满分14分）解: (1)取的中点,连、则面,的长就是所要求的距离. 3分 、,在直角三角形中,有6分（另解:由 (2
10、)连结并延长交于,连结、.则就是所求二面角的平面角. 9分 作于,则在直角三角形中,在直角三角形中,12分 ,故所求的正弦值是 14分 方法二: (1)以为原点,、分别为、轴建立空间直角坐标系.则有、2分 设平面的法向量为则由由,4分 则点到面的距离为6分 (2) 8分 设平面的法向量为则由知:由知:取 10分 由(1)知平面的法向量为 11分 则. 13分 结合图形可知,二面角的正弦值是 14分 19.（本题满分14分）解：（1）数列是等差数列且，. 2分 成等比数列，即4分 由，解得或5分 6分（2）证明;由（1）可得， 7分所以. 8分所以. 10分 ，. 11分，数列是递增数列，.13
11、分. 14分20解：（1）设，由题意,可得,即， 2分 整理得，得(舍)或，所以. 4分 （2）由（1）知,可得椭圆方程为. 直线方程为 5分 两点的坐标满足方程组,消去y并整理得6分 解得得方程组的解 8分 不妨设,设的坐标为则， 10分 由得.于是 11分 由得，化简得， 13分 将代入得，由得.因此,点的轨迹方程是. 14分 21解：的解集为,的解集为, 1分 ,且方程的两根为 即， 2分 （1）方程有两个相等的实根,即有两个相等的实根 , 或 3分 , 4分 （2）,的最小值为, 5分 则,解得, 7分 , 8分 （3）由,得 ()当时,方程() 有一解,函数有一零点； 9分 当时, 方程()有一解, 令得, ， i)当，时，（负根舍去），函数有一零点. 10分 ii) 当时，的两根都为正数，当或时，函数有一零点.11分 ) 当时，方程()有二解, i) 若,，时,（负根舍去），函数有两个零点； 12分 ii) 当时，的两根都为正数，当或时，函数有两个零点。13分 ) 当时，恒成立，取大于0()的任意数，函数有两个零点 14分
