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1、第三章微分中值定理导数的应用教学目的与要求1掌握并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大 值和最小值的求法及其简单应用。3. 用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线， 会描绘函数的图形。4. 握用洛必达法则求未定式极限的方法。5. 道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。6. 了解方程近似解的二分法及切线法。一、中值定理，泰勒公式（放入泰勒级数中讲）1.罗尔定理如f G）满足：在kb连续.(1)证:解:(2)fG）=f（b）则至少存在-点& Gb
2、）设g(x)= x(x + l)6x + l)Gx - 1),则在区间（T, 0）内，方程g/（x）=0有2个实根；在（-1, 1）内g（x）=0有2个根 设四）在0, 1可导，且f（0）=fG）=0,证明存在门（,1），使 f（r|）+r|f/（r|）=（）。设pQ）=xfG）在a, b可导，f（o）=fG） 存在 r| g(0,1)使 F/(r|)=O 即 f(r|)+r|f/(r|)=0设f(x)在0, 1可导，且f(0)=fG)=05 证明存在门F（r|）+F/（r|）=0 设FGc）=exfGc）,且F（O）= fG）由罗尔定理存在门使F/(r|)=Ognerif(r|)+erif/
3、(r|)=O,亦即 f (q)+ f/ G)= 0习题62、设 fG)= f (x 原(x) (复合函数求导)拉格朗日中值定理如f (x)满足：在a,b连续；在(a,b)连续，则存在e(a,b )使 f (b )-f (a )= f/(沸-a )。推论：如果在区间I上f/(x)三0，则f (x)= c 如果在区间I上f,(x ) 0(0),f(x )在1单增(减)例 对任意满足Ix| 0)，证明二 lnG + x) 08X T+8xa3、0 *8 型：如：lim.xa - ln x a 0XT+34、8 8 型：如：lim( 一 一 一)5 sin x x5、00 型： 如：lim Xarct
4、anxx-+01-6、30 型： 如：lim(ctgx)inxx+0sin x -17、13 型：如：lim()x2x顼 x它们的计算不能用函数极限的四则运算法则，且它们只表示类型，没有具体意义。1、0 ( 3)型的洛必达法则x 。(同理x T3) 03定理：对函数和，如果：(1) lim /(x) = 0, lim g (x) = 0x Tax r a(x3)(xT3)(2) 在某个邻域N (a, 5 )内(x X后)有导数f和 g，且g(x)卫 0 ； f(x)(3) lim 存在(或无穷)，则成立: xra g (x)(xT3 )1. sin ax例.1) lim xT0 sin bx
5、x 一 sin x2)蜘x T 0x 3x 3 一 3 x + 23) lim7xri x3 一 x2 x + 1x 咒一 arctan x例：1) lim -xr+34xln x2) lim x T+3 xnxnqlim xT+8 e 心(人 0)3、其它类型1)0 8 T g ,-182)18 8 T -T0 00 x 03)y = 00 T ln y = 0 x ln 0(08型)例：1)4) y = 18 , y = 80 解法同 3)lim xn ln x(n。0)x T0+lim(sec x tan x)立xT2lim xxx T 0+2)3)4)tan x 一 x lim XT0
6、 X2 sin x三、泰勤公式一、多项式:在点的各阶导数:1 / 、 得：an= n!f 顽x0)二、泰勒中值定理:如果函数f (x)在含有X0的某个开区间(a,b)有直到(n +1)阶的导数，则对任尤 e (a, b)有:1、(N阶泰勒公式)Rn (x)称为余项。f (n+1)(& ) Rn = WnE (x 一 x0)n+1( & 在 x0 与x 之间)拉格朗日型余项(2) RnM = o(X-X)n皮亚诺余项。2、当*0 = 得麦克劳林公式：三、常见函数的泰勒展开1) 尸心2) y - sin x3) y = cosx四、函数的性态1、极值1) 定义：如在X邻域内，恒有f(xkf(x )
7、, (f(x)zf(x ),则称f(x )为0000函数f(x)的一个极大(小)值。可能极值点，f/)不存在的点与f/)=o的点。(驻点)驻点J极值点2) 判别方法i、导数变号。ii、f)河，f(x) 极小值叫)0,f/(x )=0,则四)在乂点处0UA、取得极大值B、取得最小值C、在X。某邻域内单增D、在X。某邻域内单减例2.已知函数f G)对一切X满足xf(x)+3xL(x)】=1 - e-x如f/(x )=0, (x n0),则 a o0A. f(xQ)是fG)的极小值B、f（x）是f）的极大值C、I。、f。是曲线的拐点d、f0）不是f）的极值，（0、f0）也不是曲线y=f）的拐点。例3
8、.设函数f G ）在x 0的某邻域内可导，f/（0 ）= 0,lim些=-1，则f（0）是f（X）的极大值。X项 sin x22、函数的最大值与最小值（1）求出版，b内可能的极值点，不需判别极大还是极小，求出它们的函数值，再与端点的函数值进行比较，其中最大的（小）为最大（小）值。（2）在G，b）内可能极值点唯一，如是极小值则为最小值；如是极大值则为最大值。（3）如f 0（ 0（唯一） （ ）则曲线y =f）是凹（凸）的,在连续曲线上凹凸部分的分界点称为曲线的拐点。可能的拐点f ）= 0和f ）不存在的点例1、 /G）=-一设，试讨论f）的性态。x(-8,-2)2(-2,0)0(0,1)1(1,
9、+8)y+0间+0+y”断0+y单调增上凸极大值f（-2）=_27单减上凸单增上凸拐点八、（1,0）单增下凸渐近线 如limf（x） = a 则称y = a为水平渐近线x s如Hmf（x） = 8贝懒x = x0为垂直渐近线渐近线可能没有，或多条。2 x -1例2、求y =（x -1）2渐近线（斜渐近线不讨论）解：.y = 0为水平渐近线.x=1垂直渐近线x x例2、曲线 =（x _）（x + 2）的渐近线有亳条4证明不等式（1）利用中值定理（R, L）；（2）利用函数单调性；（3）利用最值；（4）引入辅助函数把常值不等式变成函数不等式；（5）利用函数凹凸性；（6）利用泰勒公式。例1、当 0
10、a b，试 土 ln b = b a a即证：证： 设 y = lnx，在值,切连续，停由）可导，由拉格朗日中值定理ln b ln a1b aga g bx 一 ，一例 2、设x0，证明 ln(1 + x)例4、当 0 X1证明 2p xP +G-xl 1证：设f (x)= Xp + G - x)p 0 x X _ fGc)loJ 2p-i最大值为1，最小值为2 1-P例5、设a|3e,证明 P ap证明:Ina In B即证云下即a CXpfG)在b,c上可导,且f/(x)单调减，f(o)=o0abp a B设证明.fG + b)f(a)+f(b)证：令 F(x)= f (x + a)-f (x)-f (a).f/(x)单调减.F/G)0，即F(x)单调减f (a + b) f (a)+f (b)作业：见课后习题
