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1、精品数学高考复习资料第4讲数学归纳法基础巩固1.用数学归纳法证明1+1)时,第一步应验证不等式()A.1+2B.1+2C.1+3D.1+1,n取的第一个自然数为2,左端分母最大的项为=.故选B.2.如果命题p(n)对n=k成立,则它对n=k+2也成立.若p(n)对n=2成立,则下列结论正确的是()A.p(n)对所有正整数n都成立B.p(n)对所有正偶数n都成立C.p(n)对所有正奇数n都成立D.p(n)对所有自然数n都成立答案:B解析:若n=2时,p(n)成立,则n=4,6,8,时p(n)成立.3.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)时,从“k到k+1”,左边需
2、增乘的代数式是()A.2k+1B.C.2(2k+1)D.答案:C解析:当n=k时,左边=(k+1)(k+2)(k+k),当n=k+1时,左边=(k+1)+1(k+1)+2(k+1)+(k+1)=(k+2)(k+3)(k+k)(2k+1)(2k+2)=(k+1)(k+2)(k+k)2(2k+1).故增乘的代数式应为2(2k+1).4.某个命题与自然数n有关,若n=k(kN*)时,该命题成立,那么可推得n=k+1时该命题也成立.现在已知当n=5时,该命题不成立,那么可推得()A.当n=6时该命题不成立B.当n=6时该命题成立来源:C.当n=4时该命题不成立D.当n=4时该命题成立答案:C解析:“若
3、n=5时命题不成立,则n=4时命题也不成立”的逆否命题为“若n=4时命题成立,则n=5时命题也成立”.而它的逆否命题为真命题.故结合题意可知应选C.5.已知f(n)=+,则()A.f(n)中共有n项,当n=2时,f(2)=+B.f(n)中共有n+1项,当n=2时,f(2)=+C.f(n)中共有n2-n项,当n=2时,f(2)=+D.f(n)中共有n2-n+1项,当n=2时,f(2)=+答案:D解析:总项数为n2-n+1.6.对于不等式n+1(nN*),某同学用数学归纳法证明的过程如下:(1)当n=1时,1+1,不等式成立.(2)假设当n=k(kN*)时,不等式成立,即k+1,则当n=k+1时,
4、=4时,f(n)=(用n表示).答案:5(n+1)(n-2)解析:结合题意分析,可知f(3)=2,f(4)=5,f(5)=9,每增加一条直线,交点增加的个数等于原来直线的条数.由于f(3)=2,f(4)-f(3)=3,f(5)-f(4)=4,f(n)-f(n-1)=n-1.累加,得f(n)=2+3+4+(n-1)=(n-2).故f(n)=(n+1)(n-2).11.是否存在常数a,b使等式+=对于一切nN*都成立.解:若存在常数a,b使等式成立,将n=1,n=2代入上式,有即有+=.对于n为所有正整数是否成立,再用数学归纳法证明.证明:(1)当n=1时,左边=,右边=,此时等式成立.(2)假设
5、当n=k(kN*)时等式成立,即+=,则当n=k+1时,+=+=,这就是说,当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2)可知等式对任何nN*都成立.12.已知函数f(x)=x3-x,数列an满足条件:a11,an+1f(an+1).试比较+与1的大小,并说明理由.解:f(x)=x2-1,an+1f(an+1),an+1(an+1)2-1.函数g(x)=(x+1)2-1=x2+2x在区间-1,+)上单调递增,由a11,得a2(a1+1)2-122-1,进而得a3(a2+1)2-124-123-1.由此猜想:an2n-1.下面用数学归纳法证明这个猜想:(1)当n=1时,a121-1=1,结论成立.
6、(2)假设当n=k(k1且kN*)时结论成立,即ak2k-1,则当n=k+1时,由g(x)=(x+1)2-1在区间-1,+)上单调递增知ak+1(ak+1)2-122k-12k+1-1,即n=k+1时,结论也成立.由(1)和(2)知对任意nN*,都有an2n-1,即1+an2n.因此.故+=1-1.13.已知数列an,其中a2=6且=n.(1)求a1,a3,a4;(2)求数列an的通项公式.解:(1)a2=6,=1,=2,=3,解得a1=1,a3=15,a4=28.(2)由上面的a1,a2,a3,a4的值可以猜想an=n(2n-1).下面用数学归纳法加以证明:当n=1时,a1=1(2-1)=1
7、,结论成立.假设当n=k(kN*)时,结论成立,即ak=k(2k-1),来源:则当n=k+1时,有=k,于是(k-1)ak+1=(k+1)ak-(k+1)=(k+1)k(2k-1)-(k+1)=(k+1)(2k2-k-1)=(k+1)(2k+1)(k-1)(k-10).因此ak+1=(k+1)2(k+1)-1,即当n=k+1时,结论也成立.由和可知,数列an的通项公式an=n(2n-1).拓展延伸14.已知an是等差数列,其前n项和为Sn,bn是等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10.(1)求数列an与bn的通项公式;(2)记Tn=anb1+an-1b2+a1bn,nN
8、*,证明Tn+12=-2an+10bn(nN*).解:(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.由a1=b1=2,得a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d.由条件,得方程组解得故an=3n-1,bn=2n,nN*.(2)证法一:由(1)得Tn=2an+22an-1+23an-2+2na1,2Tn=22an+23an-1+2na2+2n+1a1.由-,得Tn=-2(3n-1)+322+323+32n+2n+2=+2n+2-6n+2=102n-6n-10.而-2an+10bn-12=-2(3n-1)+102n-12=102n-6n-10,故Tn+12=-2an+10bn,nN*
9、.证法二(数学归纳法):当n=1时,T1+12=a1b1+12=16,-2a1+10b1=16,此时等式成立;假设当n=k(kN*)时等式成立,即Tk+12=-2ak+10bk,则当n=k+1时,Tk+1=ak+1b1+akb2+ak-1b3+a1bk+1=ak+1b1+q(akb1+ak-1b2+a1bk)=ak+1b1+qTk=ak+1b1+q(-2ak+10bk-12)=2ak+1-4(ak+1-3)+10bk+1-24=-2ak+1+10bk+1-12,即Tk+1+12=-2ak+1+10bk+1,因此n=k+1时等式也成立.由和可知对任意nN*,Tn+12=-2an+10bn成立.精品备战高考复习题精品备战高考复习题
