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1、专题 23 立体几何中的计算一、例题选讲题型一、简单几何体的体积与表面积简单的几何体一般指简单的柱、锥和球，在历年的高考考查中涉及到求体积或者与面积有关的问题， 解决此类问题的关键是要把几何体的高、斜高等基本量求出然后运用体积或者面积公式求出。例1、（2019江苏卷）如图，长方体ABCD -A1B1C1D1的体积是120, E为CC的中点，则三棱锥E-BCD的 体积是.11/【答案】10.【解析】因为长方体ABCD - A1BCD1的体积为120，所以AB-BC-CC二120，因为e为CC的中点，1所以CE二2CC,由长方体的性质知CC1丄底面ABCD所以CE是三棱锥E - BCD的底面BCD
2、上的高，1 11 111所以三棱锥 E BCD 的体积 V 二x AB - BC - CE 二二x AB - BC CC 二一x 120 二 10 .3 23 2212例2、（2019镇江期末）已知一个圆锥的底面积为疗，侧面积为2n，则该圆锥的体积为.【答案】詈n r2 = n，【解析】先求出圆锥的底面半径和高.设圆锥的底面半径、高、母线长分别为r，h，l,贝 c 解 n rl = 2n， 得； = ；，所以h=/3圆锥的体积V=|sh=n .例3、（2017江苏卷）如图，圆柱00内有一个球0,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱00 1 2 1 2V 的体积为V,球0的体积为V2，贝叶
3、的值是.2【答案】24n R3V【解析】设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为h=2R.因为V=n R2h=2n R3, V =-,所以孑=123V232.【解后反思】因为所求的是两体积的比值，所以不妨设R=1,不会影响结果 题型二、运用等积法求几何体的体积或者高若一个几何体的高或者底面积不好求时，要考虑运用等积法求体积，要换顶点，以便高以及底面积都 可以求出，有时几何体往往会涉及到换体，但要主要体之间的关系。运用等积法也可以求几何体的高。例4、(2019南京、盐城一模)如图，PA丄平面ABC, AC丄BC, PA=4, AC=/3, BC=1, E, F分别为【解析】：Vbefc=VFB
4、Ecpbec=2 (3 Sbec PA尸11 亞 32X3X 4也=6.例5、(2016无锡期末)如图，在圆锥VO中，O为底面圆心，半径OA丄OB,且OA = VO=1,则O到平面 VAB 的距离为答案】【解析】 思路分析 在立体几何求点到平面的距离问题中，往往有两种途径：(1) 利用等体积法，这种方法 一般不需要作出高线；(2) 利用面面垂直的性质作出高线，再进行计算解法1因为VO丄平面AOB, OA 平面AOB,所以VO丄OA,同理VO丄OB,又因为OA丄OB, OA =13VO=OB=1,所以 VA=VB=AB/2,所以 Svab=2VAXABsin6023.设 o 到平面 VAB 的距
5、离为 h,由1、；3v3Vvaob=Vovab，AOB得2OAXOBXVO=h,解得h=.解法2取AB中点M,连结VM,过点O作OH丄VM于H.因为OA = OB, M是AB中点，所以OM丄 AB,因为VO丄平面AOB, ABU平面AOB,所以VO丄AB,又因为OMLAB, VOHOM=O,所以AB丄平 面VOM,又因为ABU平面VAB,所以面VAB丄平面VOM,又因为OH丄VM, OHU平面VOM,平面VABH 平面VOM= VH,所以OH丄平面VAB,所以OH为点O到平面VAB的距离，且OH=/=题型三、几何体的展开与折叠问题 解决这类问题一定要把握住几何体折叠前和折叠后的不变的量，以及前
6、后之间量的关系。例6、（2018南京、盐城、连云港二模）在边长为4的正方形ABCD内剪去四个全等的等腰三角形（如图1 中阴影部分），折叠成底面边长为迈的正四棱锥SEFGH（如图2）,则正四棱锥SEFGH的体积为4【答案】3【解析】连结EG, HF,交点为O,正方形EFGH的对角线EG=2, EO=1,则点E到线段AB的距离为1,EB =寸 12+22=V3.SO =、JSE2OE2 = 2,故正四棱锥 SEFGH 的体积为*X（迈）22=扌.例7、一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作 侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四
7、棱锥形容器.当x=6cm时，该容器的 容积为cm3答案】 48【解析】：由题意知，这个正四棱锥形容器的底面是以6cm为边长的正方形，而侧面高为5cm，则正四棱 锥的高为：52-（6一2）2 =4cm,所以所求容积为|x62x4 = 48 （cm3）.例8、如图，直三棱柱ABC-AQC中，AB=1, BC=2, AC= AA1 = 3, M为线段B1B上的一动点，则 当 AMMC1 最小时， AMC1 的面积为【答案】E.【解析】：如图，沿BB将侧面ABBAr与BCCB展开成平面图，连结AC1交BB1于点M,则AC1为AM+MC的最小值，此时BM=AB = 1，BM=BC=2，从而 AMC】的三
8、条边长分别为AM=；2, 1CM=22, AC=14，由余弦定理知ZAMC1 = 120，故 AMC 的面积为 S=2xAMxCMsin12O,即 S=2x2：2x罗=3.题型四、求的切、接问题球的切与接的问题要选择恰当的截面，选择截面的标准就是尽量包含多的关系，如球的半径与边长的 关系。例9、（2019苏州三市、苏北四市二调）设P，A，B，C为球O表面上的四个点，PA, PB，PC两两垂直,且PA=2 m，PB = 3 m，PC=4 m,则球O的表面积为.【答案】29n【解析】 根据题意，可知三棱锥PABC是长方体的一个角，如图所示，该长方体的外接球就是经过P，A，B，C四点的球，因为PA=
9、2，PB = 3，PC=4，所以长方体的体对角线的长为：PA2+PB2+PC2=V29，即 外接球的直径2R=p29，可得R=，因此外接球的表面积为S=4n R2=4n号 =29n，例 10 、（2018 苏州期末）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外 观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经 90榫 卯起来若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为 1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器 的表面积至少为（容器壁的厚度忽略不计，结果保留疗）.【答案】30n【解析】思路分析设球形容器的最小半径为R,则“十字立方
10、体”的24个顶点均在半径为R的球面上,所以两根并排的四棱柱体组成的长方体的八个顶点在这个球面上球的直径就是长方体的体对角线的长度，所以2R=J12+22+52=30,得4R2=30.从而S球面=4n R2= 30n.解后反思 本题由于背景文字较多，易出现没有读懂题意，没有正确理解图形的情况本题的关键在于理解球的直径与两个并排长方体体对角线之间的关系二、达标训练1、（2019扬州期末） 底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是【答案】字【解析】圆锥的高为h=；3212=2-血，圆锥的体积V=*Xn X12X；2=ZL2、（2019镇江期末）已知一个圆锥的底面积为n ,侧面积为2n，则该圆锥的体积为
11、【答案】述nn r2 = n ，r= 1，则n r1=2n，解得1=2.所以h=. 3.圆锥的体积V解析】 思路分析 先求出圆锥的底面半径和高设圆锥的底面半径、高、母线长分别为r，h, 1,3nh= 3 -3、（2019苏北三市期末）已知正四棱锥的底面边长为2西，高为1,则该正四棱锥的侧面积为【答案】 &翻【解析】：如图，在正四棱锥中，BC = 2/3, SO=1,取BC的中点E,连续OE, SE,则OE=2bc3，侧面是四个全等的等腰三角形，设侧面积为S，贝y S = 4S = 41SEBC = 2 勺SO2+OE22爲= SBC2V棱锥A1BB1C1C的体积为V2，则亍的值是2【答案】J【
12、解析】解法1（割补法）设AABC的面积为S，三棱柱的高为h，则V =VA ABC-V =1Sh-1S xjh=|Sh，11MABC 332612” V Sh 31V =VABCA B C -VA ABC=ShSh=Sh，所以F=二21 1 1133V 6 2Sh 4211V 1解法 2（等积转换）V = VBA MC=VBA AC =VA ABC，V =2VABCB =2VBABC =2VAABC，所以亍=才2解后反思 计算几何体的体积一般可以选用等积转换和割补法这两种方法，要注意多观察，将所求的体积合理地转化.5、（2018南通、泰州一调） 如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱
13、所构成的已知正六棱柱的底面边长、高都为4 cm，圆柱的底面积为9：了 cm2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6 cm的正三棱【答案】2寸10【解析】由题意知，熔化前后的体积相等，熔化前的体积为643X42X4-3X4 = 61i3,设所求正三棱 柱的底面边长为x cm,贝有亍X26 = 60巾，解得x = 2；T0，所以所求边长为2：T0cm.6、（2019苏州期末）如图，某种螺帽是由一个半径为 2 的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，贝被挖去的正三棱锥体积为【答案】2力【解析】正三棱锥的底面正三角形的边长为a = 2：./5，面积S=
14、a2 = 3/5，高h=2 所以正三椎锥的体积V =|sh=；3.7、（2017全国1）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球0的球面上，SC是球0的直径.若平面SCA丄平面SCB, SA=AC，SB=BC,三棱锥SABC的体积为9,则球0的表面积为.B【答案】3鼠【解析】取SC的中点O，连接OA,OB，因为SA = AC,SB = BC所以OA丄SC,OB丄SC，因为平面SAC丄平面SBC 所以OA丄平面SBC 设 OA = r1111V = x S x OA = x x 2r x r x r = r 3 A-SBC3ASBC3231所以3r3 = 9 n r = 3，所以球的表面积为4兀r2 = 36兀8、（2017南京三模）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1 中，AB = 1, BC=2, BB=3，AABC=90，点 D 为侧棱BB1上的动点.当ADDC1最小时，三棱锥D-ABC1的体积为【答案】3【解析】如图，川】 RiCi沿BB将侧面ABB1A1与BCC1B1展开成平面图，连结AC1交BB】于点D,则AC1为AD + DC1的最小值，此时111BD = AB = 1, S= AB - BD 二一x lx 1 二一,由题意可知 BC 丄平面 ABD ,且 BC = 2 ,RtNABD 2221
