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1、目录摘要2关键词2Abstract2Keywords2前言21 预备知识21.1 二次型定义21.2 正定二次型定义32 正定二次型的性质33 正定二次型的应用73.1 正定二次型在解决极值问题中的应用73.2 正定二次型在分块矩阵中的应用.93.3 正定二次型在解决多项式根的有关问题中的应用93.4 正定二次型在解决二次曲线和二次曲面方程中的应用103.5 正定二次型在线形最小二乘法问题的解中的应用123.6 正定二次型在欧氏空间中的应用（欧氏空间的内积与正定矩阵）123.7 正定二次型在解线性方程组中的应用.123.8 正定二次型在物理力学问题中的应用.13结束语.13参考文献14正定二次
2、型的性质及应用摘要：本文主要探讨了正定二次型的性质，结合例题重点介绍了正定二次型的应用，如研究极值问题方面、解决多项式的根和在物理方面的应用等.关键词：正定二次型；正定矩阵；合同；初等变换；分块矩阵The properties and Applications of positive definiteQuadratic FormsAbstract ：In thispaper ， the properties of positive definite quadraticformisdiscussed.Bygivingexamples,we mainlyintroducetheapplicatio
3、nsof positivedefinitequadraticform, such as the applicationto extremum questions、studying the polynomial root and applications inphysics et al.Keywords： positive definite quadratic form; positive definite matrix;congruence;elementary transformation；partitioned matrix.前言二次型是线性代数的主要内容之一，正定二次型是是实二次型中一类
4、特殊的二次型，占有特殊的地位. 正定二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中,且有很大的实用价值， 它不仅在几何而且在数学的其它分支学科以及物理和工程技术也常常用到， 正定矩阵是依附正定二次型给出的，因而对正定矩阵的性质的考察，有助于更好地了解正定二次型，本文在二次型的基础上研究了正定二次型与正定矩阵的一些性质及相关证明，并以例题的形式详细介绍了正定二次型的一些应用 .1 预备知识1.1二次型定义设 P 是一数域，一个系数在数域P 中的 x1, x2 ,., xn 的二次齐次多项式f x1 , x2 ,., xn a11 x122a12 x1 x22a1n x1 xn a22 x222a2 n
5、 x2 xn+ann xn2称为数域 P 上的一个 n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型 .1.2 正定二次型的定义定义 1实二次型 f x1 , x2 ,., xn 称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数 c1,c2 , cn 都有 fc1 ,c2 ,., cn0 .定义 2实对称矩阵 A 称为正定的，如果二次型XAX正定.2 正定二次型的性质性质 1 实二次型f x1, x2 ,., xn= d1 y12d2 y22dn yn2是正定的当且仅当 di 0,i1,2, n .证明 必要性 . 因为 f x1 , x2 ,., xn = d1 y12d2 y22dn yn2 是正定
6、的，所以对于任意的一组不全为零的实数c1 ,c2 ,cn 都有 f c1 ,c2 ,., cn0 . 于是取一组不全为零的实数： 0,0, ,0,1,0, ,0（这里第 i 个为 1，其余 n1 个为 0），有f (0,0,0,1,0,0) = di0,i 1,2, n .充分性显然 .性质 2 n 元实二次型f x1 , x2 ,., xn 是正定的充要条件是它的正惯性指数等于 n.证明设二次型 f x1 , x2 ,., xn经过非退化实线性替换变成标准型d1 y12d2 y22dn yn2 .（1）上面的讨论表明，f x1 , x2 ,., xn 正定当且仅当（ 1）是正定的，而我们知道
7、，二次型 (4) 是正定的当且仅当 di0,i1,2, n ，即正惯性指数为 n .性质 3 正定二次型 f x1, x2,., xn的规范形为y12y22yn2 ，正定二次型的规范性矩阵为单位矩阵E ，所以一个实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同.性质4实二次型 .f x1, x2 ,., xn= X AX，正定的必要条件为A0证明有实二次型知A 是一正定矩阵， 因为A 与单位矩阵合同， 所以有可逆矩阵C使AC ECC C.两边取行列式，就有ACC C20 .性质 5实二次型 f x1, x2 ,., xn= X AX 为正定的充分必要条件是 A 的特征值都是正数 .性质6若 A 是正
8、定矩阵，则 A 1 也是正定矩阵 .证明如果 A 正定，则由性质2 知 A 0 ，因而 A 可逆，且其存在可逆矩阵T,使ATT ，将等式两边取逆有 AT 1T1，令C (T 1)，于是A 1C CC EC ，所以 A 1 也是正定矩阵 .性质7若 A 是正定矩阵，则对任意的实数k ， kA 也是正定矩阵 .证明因为 A 正定，所以对任意 n 维实向量 X0 ，都有 X AX 0 ，若 k 0 ，则 X (kA) Xk ( X AX ) 0 ，故 kA为正定矩阵 .性质8若 A 是正定矩阵，则 A 的伴随矩阵 A*也是正定矩阵 .证明因为 A 正定，因而 A0 ，且有性质四知 A 1 也正定，而
9、 A* = A A 1 ，又由性质5 知 A* 为正定矩阵性质9正定矩阵只能与正定矩阵合同 .证明若 A 正定，则 A 与单位矩阵 E 合同，若 B 也正定，则 B 也与 E 合同，即 A、B 都与单位矩阵 E合同，故 A、 B合同.反之，若 A 、 B 合同，且 A 正定，即 A 与单位矩阵 E 合同，所以 B 也与 E 合同，故 B 也为正定的 .综上，结论成立 .性质10若 A 、 B 为正定矩阵，则AB 也为正定矩阵.证明因为 A、B 为正定矩阵，故XAX，X BX为正定二次型，于是X(AB) X=XAXX BX 也必为正定二次型，故AB 为正定矩阵.性质11若 A 是正定矩阵，则对任
10、意的正数k ，Ak 也是正定矩阵.证明因为A 正定，那么当 k2m 时，AkAm Am( Am ) Am ， Am 为实可逆矩阵，所以Ak 正定；当 k2m1时，Ak( Am ) AAm ，因而Ak 与A合同，有性质7 知 Ak为正定矩阵 .所以无论哪种情况，Ak 都正定 .性质 12 实二次型nnf x1 , x2 ,., xnaijxi xj = X AX ，i 1j1矩阵 A 的主对角线上的元素都大于零 .x1证明因为 A 是正定矩阵，于是对任何Xx20，xn恒有f x1 , x2 ,., xn = X AXnnaij xi x j 0 ，i1 j 1其中 aij(i, j1,2, n) 为 A 的元素，令00X I1 （ i 行） i1,2, , n,00那么 X iAX iaii0, i 1,2, , n, 证毕 .性质 13 实二次型nnf (x1, x2, xn )aij xi xj = X AXi1j 1是正定的充分必要条件为矩阵A的顺序主子式全大于零 .证明先证必要性 . 设二次型nnf (x1 , x2, xn)aij xi xji 1j 1是正定的 . 对于每个 k ，1 k n ，令
