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1、第五章 相交线与平行线【知识要点】1.两直线相交2.邻补角:有一条公共边,另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角。3.对顶角定义:有一个公共顶点,且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,这样的两个角互为对顶角 (或两条直线相交形成的四个角中,不相邻的两个角叫对顶角) 。(1) 对顶角的性质:对顶角相等。4垂直定义:当两条直线相交所形成的四个角中,有一个角是90那么这两条线互相垂直。5.垂线性质:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;垂线段最短。6平行线的定义:在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线,“平行”用符号“”表示,如直线a,b是平行线,可记作“ab”7平行公理及推论(1)平行
2、公理:过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。(2)推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。注:(1)平行公理中的“有且只有”包含两层意思:一是存在性;二是唯一性。(2)平行具有传递性,即如果ab,bc,则ac。8两条直线的位置关系:在同一平面内,两条直线的位置关系有相交和平行。9平行线的性质:(1)两直线平行,同位角相等(在同一平面内)(2)两直线平行,内错角相等(在同一平面内)(3)两直线平行,同旁内角互补(在同一平面内)10平行线的判定(1)同位角相等,两直线平行;(在同一平面内)(2)内错角相等,两直线平行;(在同一平面内)(3)同旁内角互补,两直线平行
3、;(在同一平面内)(4)如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行; 补充:(5)平行的定义;(在同一平面内)(6)在同一平面内,垂直于同一直线的两直线平行。考点一:对相关概念的理解对顶角的性质,垂直的定义,垂线的性质,点到直线的距离,垂线性质与平行公理的区别等例1:判断下列说法的正误。(1) 对顶角相等; (2) 相等的角是对顶角;(3) 邻补角互补;(4) 互补的角是邻补角;(5) 同位角相等;(6) 内错角相等;(7) 同旁内角互补;(8) 直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离;(9) 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;(10) 过一点有且只有一条直线与已知
4、直线平行;(11) 两直线不相交就平行;(12) 互为邻补角的两个角的平分线互相垂直。练习:下列说法正确的是( )A、相等的角是对顶角 B、直线外一点到直线的垂线段叫点到直线的距离C、两条直线相交,有一对对顶角互补,则两条直线互相垂直。D、过一点有且只有一条直线与已知直线平行考点二:相关推理(识记)(1)ac,bc(已知) _ _( )(2)1=2,2=3(已知)_ =_( )(3)1+2=180,2=30(已知) 1=_( )(4)1+2=90,2=22(已知) 1=_( )(5)如图(1),AOC=55(已知) BOD=_( )(6)如图(1),AOC=55(已知) BOC=_( )(7)
5、如图(1),AOC=AOD,AOC+AOD=180(已知) ab11234ab.ACBBOC=_( ) (1) (2) (3) (4)(8)如图(2),ab(已知) 1=_( )(9)如图(2),1=_(已知) ab( )(10)如图(3),点C为线段AB的中点 AC=_( )(11) 如图(3),AC=BC点C为线段AB的中点( )(12)如图(4),ab(已知) 1=2( )(13)如图(4),ab(已知) 1=3( )(14)如图(4),ab(已知) 1+4= ( )(15)如图(4),1=2(已知) ab( )(16)如图(4),1=3(已知) ab( )(17)如图(4),1+4=
6、(已知) ab( )考点三:对顶角、邻补角的判断、相关计算例题1:如图51,直线AB、CD相交于点O,对顶角有_对,它们分别是_,AOD的邻补角是_。例题2:如图52,直线l1,l2和l3相交构成8个角,已知1=5,那么,5是_的对顶角,与5相等的角有1、_,与5互补的角有_。例题3:如图53,直线AB、CD相交于点O,射线OE为BOD的平分线,BOE=30,则AOE为_。图51 图52 图53考点四:同位角、内错角、同旁内角的识别例题1:如图2-44,1和4是AB、 被 所截得的 角,3和5是 、 被 所截得的 角,2和5是 、 被 所截得的 角,AC、BC被AB所截得的同旁内角是 .例题2
7、:如图2-45,AB、DC被BD所截得的内错角是 ,AB、CD被AC所截是的内错角是 ,AD、BC被BD所截得的内错角是 ,AD、BC被AC所截得的内错角是 。例题3:如图126所示AEBD,1=32,2=25,求C考点五:平行线的判定、性质的综合应用(逻辑推理训练)例题1:如图9,已知DFAC,C=D,要证AMB=2,请完善证明过程,并在括号内填上相应依据:DFAC(已知),D=1( )C=D(已知),1=C( )DBEC( )AMB=2( )A1BCDEFGH例题2:如图,直线AB、CD被直线EF所截,AEF+CFE=180,1=2,则图中的H与G相等吗?说明你的理由.考点六:特殊平行线相
8、关结论例题1:已知,如图:AB/CD,试探究下列各图形中.ABCDP(1)ABCDP(2)ABCDP(3)ABCP(4)考点七:探究、操作题例题:(阅读理解题)直线ACBD,连结AB,直线AC,BD及线段AB把平面分成、四个部分,规定:线上各点不属于任何部分当动点P落在某个部分时,连结PA,PB,构成PAC,APB,PBD三个角(提示:有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0角)(1)当动点P落在第部分时,求证:APB =PAC +PBD;(2)当动点P落在第部分时,APB =PAC +PBD是否成立(直接回答成立或不成立)?(3)当动点P在第部分时,全面探究PAC,APB,PBD之间的关系,
9、并写出动点P的具体位置和相应的结论选择其中一种结论加以证明 练习:1.(动手操作实验题)如图所示是小明自制对顶角的“小仪器”示意图:(1)将直角三角板ABC的AC边延长且使AC固定;(2)另一个三角板CDE的直角顶点与前一个三角板直角顶点重合;(3)延长DC,PCD与ACF就是一组对顶角,已知1=30,ACF为多少?【配套练习】1、如图,要把角钢(1)弯成120的钢架(2),则在角钢(1)上截去的缺口是_度。1AEDCBF21123 第1题 第2题 第3题 第4题2如图,把矩形沿对折后使两部分重合,若,则=( ) 3如图,将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,则的度数等于( )4. 如图,把一块
10、直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上,如果1=32o,那么2的度数是( )5. 如图,将直尺与三角尺叠放在一起,在图中标记的所有角中,与2互余的角是 123456 第5题 第6题6光线a照射到平面镜CD上,然后在平面镜 AB和CD之间来回反射,这时光线的入射角等于反射角,即16,53,24。若已知1=55,3=75,那么2等于( )8.把一块直尺与一块三角板如图放置,若1=45,则2的度数为()A、115 B、120 C、145 D、1359、如图,将三角板的直角顶点放在两条平行线a、b中的直线b上,如果1=40,则2的度数是()A、30 B、45 C、40 D、50第8题 第9题 第10题 第11题10、如图,lm,等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线m上,若=20,则的度数为()A、25 B、30 C、20 D、3511、如图,ABEFCD,ABC=46,CEF=154,则BCE等于()