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1、5-2 数的整除教学目标本讲是数论知识体系中的一个基石，整除知识点的特点介于“定性分析与定量计算之间”即本讲中的题型有定性分析层面的也有定量计算层面的，是很重要的一讲，也是竞赛常考的知识板块。本讲力求实现的一个核心目标是让孩子熟悉和掌握常见数字的整除判定特性，在这个基础上对没有整除判定特性的数字可以将其转化为几个有整除判定特性的数字乘积形式来分析其整除性质。另外一个难点是将数字的整除性上升到字母和代数式的整除性上，这个对于学生的代数思维是一个良好的训练也是一个不小的挑战。知识点拨一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2 或 5 整除，这个数就能被 2 或 5整除；一个数的末两位能被4
2、或 25 整除，这个数就能被4或 25整除；一个数的末三位能被8或 125 整除，这个数就能被8或 125 整除；2. 一个位数数字和能被 3 整除，这个数就能被 3 整除；一个数各位数数字和能被9 整除，这个数就能被9 整除；3.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11 整除，那么这个数能被11 整除 .4.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、 11 或 13 整除，那么这个数能被7、11 或 13 整除.【备注】（以上规律仅在十进制数中成立. ）二、整除性质性质 1如果数 a 和数 b 都能被数c 整除，那么它们的和或差也能被c 整除即如果c
3、a，c b，那么 c (a b) 性质 2如果数 a 能被数 b 整除， b 又能被数c 整除，那么a 也能被 c 整除即如果b a，c b，那么 c a用同样的方法，我们还可以得出：性质 3如果数 a 能被数 b 与数 c 的积整除，那么a 也能被 b 或 c 整除即如果bc a，那么 b a， c a性质 4如果数 a 能被数 b 整除，也能被数c 整除，且数b 和数 c 互质，那么a 一定能被 b与 c 的乘积整除即如果 ba， c a，且 (b ，c)=1 ，那么 bc a例如：如果 3 12， 4 12，且 (3 ， 4)=1 ，那么 (3 4) 12性质 5如果数 a 能被数 b
4、整除，那么am也能被 bm整除如果b a，那么 bm am（ m为非 0 整数）；性质 6如果数 a 能被数 b 整除，且数c 能被数 d 整除，那么ac 也能被 bd 整除如果b a ，且 d c ，那么 bd ac；例题精讲模块一、常见数的整除判定特征【例 1 】 已知道六位数 20 279 是 13 的倍数，求中的数字是几？【解析】本题为基础题型，利用13 的整除判定特征即可知道方格中填1。【巩固】六位数 20 08 能被 99 整除，是多少？【解析】方法一： 200008 被 99 除商 2020 余 28，所以00 28 能被 99 整除，商 72 时， 9972 7128 ，末两位
5、是28，所以为 71；方法二：99 9 11 ， 20 08 能被 99 整除，所以各位数字之和为9 的倍数，所以方框中数字的和只能为8 或 17；又根据数被11 整除的性质，方框中两数字的差为6 或 5，可得是 71.【 巩固】六位数 20 08 能被 49 整除，中的数是多少？【 解析】详解类似上题，从略。填入 05【例 2 】173是个四位数字。数学老师说：“我在这个中先后填人3 个数字，所得到的3 个四位数，依次可被9、 11、 6 整除。”问：数学老师先后填入的3 个数字的和是多少？【 解析】用 1730 试除，1730 9=192 2，1730 1l=157 3，1730 6=28
6、8 2所以依次添上 (9-2=)7 、 (11-3=)8 、(6-2=)4 后得到的 1737、 1738、1734 依次能被 9、 11、 6 整除所以，这三种情况下填入口内的数字的和为 7+8+4=19【 巩固】某个七位数 1993能够同时被 2，3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 整除，那么它的最后三位数字依次是多少？【解析】本题可采用整除数字的判定特征进行判断，但是太过繁琐。采用试除法比较方便，若使得7 位数能够同时被2， 3，4， 5，6， 7， 8， 9 整除，只要让七位数是2，3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 最小公倍数的倍数即可。【 2，3，4，5，6，7，8，9】=
7、2520. 用 1993000 试除， 1993000 2520=790 2200 ，余 2200 可以看成不足 2520-2200=320 ，所以在末三位的方格内填入320 即可【巩固】如果六位数1992能被 105 整除，那么它的最后两位数是多少？【解析】因为 105375 ，所以这个六位数同时满足能被3、 7、5 整除的数的特征即可方法一：利用整除特征末位只能为0或 5 如果末位填入0，那么数字和为 1 9 9 2 0 21，要求数字和是3 的倍数，所以可以为0， 3， 6， 9 ，验证 2001991， 230199 31 ， 26019961， 290 199 91 ，有 91 是
8、7 的倍数，即199290 是 7 的倍数，所以题中数字的末两位为90 如果末位填入5，同上解法，验证没有数同时满足能被3、 7、 5 整除的特征所以，题中数的末两位只能是90方法二：采用试除法用 199200 试除， 199200105189715 ，余 15可以看成不足，1051590 所以补上 90，即在末两位的方格内填入90 即可【例 3 】 在六位数11 11 中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17 和 19 整除，那么方框中的两位数是多少 ?【解析】采 用试除法 . 设六位数为 11ab11,11ab111110000ab0011 110011ab00 如果一个数能同时被 1
9、7 和 19 整除，那么一定能被323 整除 110011323340191 ，余 191也可以看成不足323191132 所以当 ab00132323n 时，即 ab00 是 100 的倍数时，六位数才是323 的倍数所以 有 323n的末位只能是1028 ， 所 以 n 只 能 是 6 ， 16 ， 26 ，验 证 有 n 16 时 ，1 3 232 31 653 05， 3 得到的115311 满足题意，所以原题的方框中填入【巩固】已知四十一位数55 5 99 9（其中 5 和 9 各有 20 个）能被 7 整除，那么中间方格内的数字是多少？【解析】我们知道 abcabc 这样的六位数一
10、定能整除7、 11、13 原 41位数中从高位数起共有20 个 5，从低位数起共有20 个 9，那么我们可以分别从低位和高位选出555555，和 999999，从算式的结构上将就是进行加法的分拆，即：555555 10 00(35个 0)+555555 10 00(29个 0)+ +5599+999999 10 00(12 个 0)+ +999999. 这个算式的和就是原来的41 位数，我们可以发现每一组含有 555555 或 999999 因数的部分都已经是7 的倍数，唯独剩余55 99待定，那么只要令 55 99 是 7 的倍数即可，即只要 44 是 7 的倍数即可，应为6【例 4 】 在
11、方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4 32是 9 的倍数 . 请随便填出一种，并检查自己填的是否正确；一共有多少种满足条件的填法？【解析】一个数是9 的倍数，那么它的数字和就应该是9 的倍数，即4 3 2是9 的倍数，而4 3 2 9, 所以只需要两个方框中的数的和是 9 的倍数依次填入 3、6，因为4 3 32 6 18 是 9 的倍数，所以 43326是 9 的倍数；经过分析容易得到两个方框内的数的和是 9的倍数，如果和是9, 那么可以是（ 9,0）；（8,1 ）；（ 7,2 ）；（6,3 ）；（ 5,4 ）；（ 4,5 ）；（3,6 ）；（ 2,7 ）；（1,8 ）；（ 0,9
12、），共 10 种情况，还有（0,0 ）和（ 9,9），所以一共有12 种不同的填法【例 5 】 (2019 “数学解题能力展示”初赛) 已知九位数2007122 既是 9的倍数，又是11 的倍数；那么，这个九位数是多少？【解析】设 原数2007 a12b2 ， 9 | 2007a 12b2a b 4 或 者 a b13，11|2007 a12b22 0 a2 2(0 7 1 b )0或者(07 1 b ) (2 2 a 0 2)11a b 2 或者b a 9ab4a3ab13a2根据两数和差同奇偶，得：ab2b或者a9b不成立 .所1b11以， 2007a12b2200731212 .【例 6 】 一位后勤人员买了72 本笔记本，可是由于他吸烟不小心，火星落在帐本上，把这笔帐的总数烧去两个数字 . 帐本是这样的： 72本笔记本，共 67.9 元 ( 为被烧掉的数字 ) ，请把处数字补上，并求笔记本的单价 .【
