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1、立体几何知识点、例题讲解、知识点一 常用结论1 .证明直线与直线的平行的思考途径：（1）转化为判定共面二直线无交点；（2 ）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5 ）转化为面面平行.2 .证明直线与平面的平行的思考途径：（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.3 .证明平面与平面平行的思考途径：（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.4 .证明直线与直线的垂直的思考途径：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直
2、.5.证明直线与平面垂直的思考途径：（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直6证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.7.夹角公式：设a=(a1,a2,a3), b= (，)，则cos a, b =一、a2Cd a2pasbj8.异面直线所成角:COS|cos；a,b； |= ra 即|a| |b|IX1X2y2乙Z2I2 y2（其中（0O90o)为异面直线222 2x,y1wX2a,
3、 b分别表示异面直线 a,b的方向向量）2Z29.直线AB与平面所成角:arc sin10、空间四点A、B C、P共面11. 二面角 丨irarc cos m n 或|m| n|的平面角a,b所成角，uuu urAB m uuu_u ( m为平面 的法向量).|AB|m|_yOB zOC，且 x + y + z = 1OP xOAir r m n arc cosr-|m| n|12. 三余弦定理：设 AC是a内的任一条直线，且成的角为 2 , A0与AC所成的角为.则m , n为平面Bd AC,垂足为cos cos 1 cos的法向量）C,又设AO与 AB所成的角为1 , AB与AC所13.
4、空间两点间的距离公式若A（x1, y1,z1） , B（x2, y2, z2），则(X2 X1)2 (y2 yj2(Z2 Z1)2 .ujuuuu uuudA,B = | AB| VAB AB二解题思路：1、平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:线/线线/面面/面判定线丄线线丄面面丄面 性质线/线线丄面面/面线面平行的判定：/面， 面，a/ b, b 面，aa/面垂线定理（及逆定理）（1）异面直线所成的角B,0 0 90PA丄面,A0为P0在内射影，a 面，则a丄 OA a丄 PO; a丄 PO a丄A0（2）直线与平面所成的角B，00 90 =0o 时，b/ 或 b（3）二面角：二面角 丨的
5、平面角，0180面面垂直：a丄面 ,a 面 丄（定义法）面丄面，丨，aaa ，丄l 丄a丄面 ，b丄面/ a b面丄a，面丄a /（三垂线定理法：A a作或证 AB丄B于B，作BO丄棱于 0,连AO，贝U AO丄棱I，/ AOB为所 求。）三类角的求法： 找出或作出有关的角。 证明其符合定义，并指出所求作的角。 计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）2、三类角的定义及求法、题型与方法求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。【例题解析】是选准恰当的点，转化为点面距离本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离 考点1异面直线所成的角此类题目一
6、般是按定义作出异面直线所成的角,然后通过解三角形来求角异面直线所成的角是高考考查的重点例1、如图，在RtA AOB中，OABn，斜边AB 4 . Rt AOC可以通过RtAAOB以直线AO为轴旋转得到,6且二面角B AO C的直二面角.D是AB的中点.(I)求证：平面COD 平面AOB ；(II)求异面直线 AO与CD所成角的大小.思路启迪：(II)的关键是通过平移把异面直线转化到一个三角形内解答过程：解法1 : (I)由题意，CO AO , BO AO ,BOC是二面角B AO C是直二面角,COBO，又 Q AOI BOCO平面AOB ,又CO平面COD .平面COD 平面 AOB .(I
7、I)作 DE OB ,CDE是异面直线在 RtA COE 中，CO垂足为E，连结CE (如图)，则，DE / AOAO与CD所成的角.BO2 , OE 1 BO 1 ,2CE .CO2 OE25.y在 RtA CDE 中，tan CDECEDE5：3异面直线AO与CD所成角的大小为15 .315 arcta n 3解法2 : (I)同解法1.(II)建立空间直角坐标系 0 xyz，如图，则 0(0,0,0) , A(0,0,2.3)， C(2,0,0) , D(01, 3)，uuu.一 uurOA (0,0,2 .3) , CD ( 21,3),uun uuur cos OAQDUJU UUU
8、OAcCDUUU LUUOAgCD6 血23gT24异面直线AO与CD所成角的大小为arccos- 4小结：求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，如解析三一般来说，平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法 同时要特别注意异面直线所成的角的范围:考点2直线和平面所成的角此类题主要考查直线与平面所成的角的作法、证明以及计算线面角在空间角中占有重要地位，是高考的常考内容例2.四棱锥SABCD中，
9、底面ABCD为平行四边形，侧面 SBC 底面ABCD 已知/ ABC 45, AB 2 ,BC 2 2, SA(I)证明SABC ；(n)求直线SD与平面SAB所成角的大小.B考查目的：本小题主要考查直线与直线 ,直线与平面的位置关系,面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.B(n)由(I)知SA丄BC，依题设AD / BC ,故SA丄AD ,AD BC 2.2 , SA .3, AOSO 1, SD.11 . SAB的面积S 121 AB 2 .2连结 DB，得 DAB 的面积 S hgS1 !SOgS2，解得 h 2 .33 ABgAD sin135o2
10、设D到平面SAB的距离为h，由于VDSAB Vs ABD，得设SD与平面SAB所成角为，则sin所以，直线SD与平面SBC所成的我为h 2SD 11.辰arcs in2211解法(I)作SO丄BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC丄底面ABCD，得SO丄平面ABCD .因为SA SB，所以AO BO .(n)取AB中点E , E连结SE，取 SE中点G ,连结OG ,OG -I , 2412 , SEAB ( 2 2,0).SEgOGABgDG0 , OG与平面SAB内两条相交直线 SE , AB垂直.所以OG平面SAB, OG与DS的夹角记为，SD与平面SAB所成的角记为，则与互余.D(、2
11、,2 2 ,0) , DS ( .2,2、21) COS阪匝 _J2 , sinOGgDS 112211所以，直线SD与平面SAB所成的角为arcsin 上.(2 )当直线和平面斜11小结：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是(1)先判断直线和平面的位置关系;交时，常用以下步骤：构造一一作出斜线与射影所成的角，证明一一论证作出的角为所求的角，计算一常用解三角形的方法求角，结论一一点明直线和平面所成的角的值考点3 二面角此类题主要是如何确定二面角的平面角，并将二面角的平面角转化为线线角放到一个合适的三角形中进行求解.二面角是高考的热点，应重视 .例3.如图，已知直二面角PQ , A PQ ,
12、B , C , CA CB , BAP 45，直线CA和平面所成的角为30.(I) 证明BC丄PQ ；(II) 求二面角B AC P的大小.命题目的：本题主要考查直线与平面垂直、二面角等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力 过程指引：(I)在平面 内过点C作CO丄PQ于点0，连结0B .Q因为丄，I PQ，所以CO丄，又因为CA CB，所以OA 0B .而 BAO 45，所以 ABO 45, AOB 90,从而BO丄PQ，又CO丄PQ ,所以PQ丄平面OBC 因为BC 平面OBC，故PQ丄BC .(II)解法一：由(I)知，BO丄PQ，又 丄 ，I PQ ,BO ，所以BO丄.过
13、点O作OH丄AC于点H，连结BH，由三垂线定理知， BH丄AC .故BHO是二面角B AC P的平面角.由(I)知，CO丄，所以CAO是CA和平面所成的角，则CAO 30,不妨设AC 2，则AO .3 , OHAOsi n30在 Rt OAB 中，ABOBAO 45，所以 BO AO .3 ,于是在 Rt BOH 中，tan BHOBOOH故二面角B AC P的大小为arctan2 .解法二：由(I)知，OC丄OA , OC丄OB , OA丄OB，故可以O为原点，分别以直线 OB, OA,OC为x轴，y轴,z轴建立空间直角坐标系(如图)因为CO丄a，所以 CAO是CA和平面 所成的角，则CAO不妨设AC则AO、3 , CO 1.Q在 Rt OAB 中,ABOBAO 45,所以BO AO则相关各点的坐标分别是O(O,O,O) , B( . 3,0,0),A(0, 一 3,0), C (0,0,1).uuu L L 所以 AB (3, 、3,0)uur-AC (0,.3,1) ir设mx, y, z是平面
