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1、华东理工大学线性代数作业簿（第三册）学院学号专 业班 级姓 名任课教师2.1行列式的定义2 x1231行列式xx12是关于x的12x3x123 x解：4次多项式.00 = 0，求 a 和 b.8a b2.已知a、b为整数，且满足-baa b 解：-b a 1000 11000 100 = 8(a2 + b2) = 0 n a2 + b2 = 08因为 a、 b 为整数，故有 a = 0， b = 0.2.2 n 阶行列式的展开1.已知四阶行列式D之值为92,它的第2行元素依次为1,0, t + 3,2 ,且第2行兀素的余子式分别为1,3,-5,2，则t =.解：74.5 2.二阶行列式D中元素
2、a的余子式为M，已知ij ijM = 1, M = 2, M = 4, M=-511 12 21 22求D的值.解：M = a , M = a , M = a , M = a11 22 122121122211a aMM54D = 1112 =2221= 13 .a aMM2121 221211=(-1)n ( n1)23.试证n阶行列式D =n九n证明：=(1)1+n 九1=(1)1+n 九(1)1+(n-1)九12=(1)1+n 九(1)1+(n-1)九.(1)1+1 九12nn (n 1)=(1)2+3+(n+1)九九.九 =(1) 2 九九.九12n12n000017024.计算行列式
3、0369410 11-581370 00000的值.0sk 亠002解：原式=5 - (-1)5+50364 10 11510 0 27=5 1(-1)1+4 03694 10 11-50=-5 -2 -(-1)1+3 43105.设 f (x) = 2x23x11203c，求它的常数项.2x0解：f (x)的常数项c = f (0) = 2厶10102301203201=(-1)1+3 xlx 213 22 31x+ 3 x=-51 01 12.3 行列式的性质1. 证明下列各等式200220032004(1)200520062007 = 0；200820092010a+ bxa x + b
4、caC1111111a+ b xa x + bc=(1- x 2) ac22222222a+ b xa x + bcabc333333332)(1) 证明：2002 2003 20042002 2003 120022005 2006 2007c23=1)2005 2006 171)20052008 2009 20102008 2009 12008111(2) 证法aa x + bcbxax+bc11111111aa x + bc+b xax+bc22222222aa x + bcb xax+bc33333333ab cbxaxcabciiii1111iab c+b xaxc= (1- x2)a
5、bc22 2222222ab cb xaxcabc333333333左式=右式.证法二：左式c2=x)a (1-x 2)1a (1-x 2)2a (1-x 2)3a x + b11 a x + b22 a x + b3c1 c2 c3=(1- X 2)a1a2a3a x + b11 a x + b22 a x + b33c1 c2 c3Ci2 V x)(1-x 2)a1a2a3b1 b2b3c1 c2 c3=右式.2. 选择题：(1)设A为n阶方阵，若A经过若干次初等变换变成矩阵B，则 正确的选项是( ).(A) |A| = |B ；(B)若|A| = 0，则必有|B = 0；(C)|A| 丰
6、 B解：B.(D)若|A| 0，则必有 |B 0.(2)设g、己、己是三维列向量，则与三阶行列式I g ,g ,g I等1 2 3 1 2 3 值的行列式是( ).(A) Ig ,2g +g ,g +3g -gI ； ( B)I g3,g2,g1I；112123321(C)Ig +g2,g2 + g3 ,g3+g1I；( D)Ig3g2 ,g1 g3,g3I122 3 3132133解：D3.填空题( 1)代数方程x 2x1x2x32 x - 22x12x22 x 3f (x)=03 x 33x24x53 x 54 x4x35x74 x 3的根的个数为 解: 2.x 2x -1 x2 x3 x
7、 2x1x2x 3厂21232123因 f (x)=0x -11 10x1150055005-1x-1 -120 x0 011121 11 210 x 11=1 0x-1 150055 00511 20 11=-x1x 11=5 x0 x 10=5 x( x 1)5051 01:.f (x)二0根的个数为2.abcd(2)设4阶行列式D =cbda，则4dbcaabdcA +A +A + A =.13233343解：04.设A = a , a ,卩,B = a , a ,卩均为3阶矩阵，若已知1 2 1 1 2 2解: |2A 5B = 3a , 3 ,2 卩-51 = (3)21 =9 (a
8、 , a ,2 卩 | +1IA 丨二 2,1 BI二 3，求 |2A 5B| 的值.a , a ,2 卩5卩 I1 2 1 21a,a, 5卩21)= 9G |a| + (5)1 B l)= 9(22 5 x 3)= 995. 证明奇数阶反对称矩阵必不可逆.证：A = At = I AI = (1)n | At | =| A | = | A |= 0 6.已知 n 阶矩阵 A、B 满足：A2 = I、B 2 = I,且 |A| + IB = 0, 试证 |A + B = 0.证：依题意，有|A =1，且|A = B，进而再由|A + B = | AB 2 + A2 b = |A|A + B|
9、B| = IA I2 |A + B = A + B 移项即得|A + B = 07-取 A=B 一 C=D= 0 1，验证IAID - IBICI1010AB0101IAI =4,I CICD -10100-101ACIAIICIIBIIDI解：2.4 行列式的计算I B I2.计算下列n阶行列式012n1 1(1) 2 2 ； nn2) D =n111nn11111=1 AII DI -1 B II CI= 1 +1 二 2. I DI1 + x11111-x11111+y11111 - yxx00110011-x1111-x11二xy00yy00111111 - y1111 - y110011-x0011 |111-xy=001111 - x|11y0011 - y1.计算行列式x2y2.解：原式锂1)r43(-1)解：（1）将第2列，第n列的（-1）倍加到第1列后，得原式=-(1+ 2 + + n) 12 12nn(n+1), n!22）换行后，提取公因子后，再将第 1 行乘以
